La successione di Padovan figlia della successione di Fibonacci

Federico Peiretti

 

Certo Leonardo Fibonacci non avrebbe mai pensato che la sua successione potesse avere un così gran successo.
Ricordiamo i primi numeri di questa successione:

1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Dove ogni termine è la somma dei due precedenti, tranne naturalmente i primi due.
Se indichiamo il termine generico della successione con F(n), abbiamo:

F(n+ 1) = F(n) + F(n - 1) dove  F(0) = F(1) = 1,

A studiarla a fondo fu Edouard Lucas, un matematico francese, dell’Ottocento, professore di Liceo,  che scriveva:

L’insegnamento scientifico dev’essere allegro. vivo, divertente e non freddo, pesante e formale. Conserviamo la nostra autorità per gli appuntamenti universitari.

Suo è il gioco della Torre di Hanoi e lo studio di questa celebre successione, in tutte le sue varianti. Una successione che i matematici hanno ritrovato in natura, nell’arte e con mille collegamenti in campi diversi.
E le varianti sono infinite. Ad esempio, cambiando i due numeri iniziali:

2, 1, 3, 5, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...

Oppure sommando i primi tre numeri, invece dei primi due:

1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, ...

Sono numeri dalle proprietà straordinarie, sui quali sono stati scritti tanti volumi. Ma non è di questo che vogliamo occuparci. Vogliamo invece segnalare una nuova successione, figlia anch’essa della successione di Fibonacci, scoperta di recente da Richard Padovan, un architetto inglese che, per la verità, ne attribuisce la paternità a Hans van der Laan (1904-1991), un originale architetto e monaco benedettino olandese. Padovan la presentò in un suo saggio del 1994 e il matematico Ian Stewart la riprese nella sua rubrica su Scientific American nel 1996. Vediamo come si costruisce.
Ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti, saltandone però sempre uno, prima di scrivere il risultato.

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, ...

Ad esempio, il settimo termine, 4 è la somma del quinto e del quarto termine, 2 + 2. Il decimo termine, 9 è la somma dell’ottavo e del settimo termine, 5 + 4.
Se indichiamo il termine generico della successione di Padovan con P(n), abbiamo:

P(n + 1) = P(n - 1) + P(n - 2),
con P(0) = P(1) = P(2) =1.

Questa di Padovan, non è una successione così famosa come quella di Fibonacci, anche perché la sua scoperta risale a meno di vent’anni fa, ma, come il numero d’oro, ha importanti applicazioni in architettura e le sue proprietà sono già numerose e molto interessanti.

Osserviamo innanzitutto che il rapporto tra due numeri successivi di Padovan tende a un numero ben preciso. In analogia con la successione di Fibonacci, per la quale il rapporto di due numeri successivi tende al numero d’oro, in questo caso tende al “numero plastico” che indichiamo con r:   1,32471795724474602596...
Che cos’è il “numero plastico”? ... E’ un po’ più difficile da spiegare del numero d’oro. Mentre quest’ultimo è la radice positiva della seguente equazione di secondo grado

x 2x – 1 = 0

E se indichiamo il numero d’oro con φ, abbiamo

Il numero plastico è l’unica soluzione reale della seguente equazione di terzo grado ( si osservi l’analogia, una delle tante, con l’equazione relativa al numero d’oro).

x3x – 1 = 0

Come si ricava? Ecco la formula applicata a questa equazione:

\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}

Se indichiamo con r la soluzione reale dell’equazione precedente possiamo scrivere:

Ma, come per il numero d’oro, ci sono modi più semplici per ricavare il numero plastico. Ad esempio, questa bellissima espressione:

I numeri primi nella successione di Padovan sono molto rari. Il dodicesimo numero primo è già enorme:
1558877695141608507751098941899265975115403618621811951868598809164180630185566719
e prima di questo ci sono soltanto:
2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, 13091204281, 3093215881333057, 1363005552434666078217421284621279933627102780881053358473, ...

Una formula ci consente di trovare la somma dei primi n numeri della successione di Padovan:

\sum_{m=0}^n P(m)=P(n+5)-2.

Padovan

Possiamo costruire un a spirale di triangoli equilateri per i quali la lunghezza dei lati segue la successione di Padovan. Ad esempio, il triangolo equilatero di lato 9 è la somma dei lati di due triangoli equilateri: 7 + 2. In questo modo abbiamo un’altra formula per la determinazione dei numeri di Padovan:

P(n) = P(n − 1) + P(n − 5)

Dobbiamo dire che una successione simile a quella di Padovan in realtà era già stata studiata da Edouard Lucas, con tre numeri iniziali diversi: P(0) = 3,  P(1) = 0 e P(2) = 2. Questa idea venne poi sviluppata, alla fine dell’Ottocento, da R. Perrin.
I primi termini di questa successione, che vi invitiamo ad approfondire (e che riserverà grandi sorprese), sono:

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, ...

 

Per saperne di più

Tutto sulla successione di Fibonacci:
http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

La Torre di Hanoi:
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Hanoi/Hanoi.htm

Un articolo di Ian Stewart:
http://members.fortunecity.com/templarser/padovan.html

Su Mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/PadovanSequence.html
http://mathworld.wolfram.com/PerrinSequence.html

Sulla Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Padovan_sequence
http://en.wikipedia.org/wiki/Perrin_number

E invitiamo i più curiosi ad estendere la ricerca ai Numeri di Pell, alla scoperta di un’applicazione del numero d’argento:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pell_number