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4. Nella geometria.

Partiamo dalla definizione classica di sezione aurea: dato il segmento AB si chiama sezione aurea di AB il segmento medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.
In figura indichiamo con C il punto che divide il segmento AB nelle due parti richieste

Dev'essere:

AB : AC = AC : CB

La costruzione della sezione aurea di un dato segmento AB, quella che si trova sui libri di scuola, prevede per prima cosa di tracciare una circonferenza il cui raggio OB sia uguale alla metà di AB. Si unisce poi il centro O di tale circonferenza con l'estremo A del segmento dato e, chiamati D ed E le intersezioni con la circonferenza, si riporta il segmento AD in AC.

 

Noi sappiamo che tracciando da un punto esterno a una circonferenza una secante e una tangente, il segmento di tangente è medio proporzionale fra i due segmenti di secante che si vengono a determinare:

AE : AB = AB : AD

Ma sapendo che AB = DE e che AD = AC, ricaviamo:

(AE - DE) : AB = (AB - AD) : AD

AD : AB = BC : AD ossia

AC : AB = BC : AC

Possiamo quindi dire, scambiando i medi con gli estremi, che il segmento AC è medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente:

AB : AC = AC : CB

Si dice per questo che il punto C divide il segmento AB in media ed estrema ragione, cioè che il segmento AC, detto la media ragione ovvero la sezione aurea, è medio proporzionale tra l'intero segmento AB e la parte rimanente, CB, ovvero l'estrema ragione.
Il numero d'oro è il rapporto costante fra un segmento e la sua sezione aurea.

Naturalmente anche

E possiamo dimostrare che, tracciando il segmento AF = AE, abbiamo inoltre:

Si osservi ancora che le misure dei quattro segmenti CB, AC, AB e AF, prese in quest'ordine formano una progressione geometrica di ragione phi.


Possiamo verificare che

Dalla proporzione precedente AB : AC = AC : CB , abbiamo

AB : AC = AC : (AB - AC) e quindi

Indichiamo ora con a la lunghezza del segmento AB e con phi il numero d'oro, ovvero il rapporto AB/AC e quindi con a/phi il segmento AC.

Abbiamo:

Semplifichiamo e otteniamo:

La radice positiva di questa equazione è il numero d'oro

Questa è l'espressione rigorosa di phi, mentre il valore approssimato più usato è 1,618.

La radice negativa vale -0,618...

Vediamo cosa succede se consideriamo il segmento AB di lunghezza unitaria, e poniamo AC = x, e quindi CB = 1 - x:
1 : x = x : (1 - x)

e da questa

La radice positiva di questa equazione è la sezione aurea del segmento AB, nel caso che questo sia di lunghezza unitaria:

Vediamo ancora come si costruisce, partendo da un quadrato, quello che si chiama il "rettangolo aureo", cioè il rettangolo i cui lati sono in rapporto aureo. Dato il quadrato ABCD di figura, lo si taglia a metà. Si taglia poi il prolungamento della base con l'arco di circonferenza avente il raggio uguale alla diagonale del rettangolo corrispondente alla metà del quadrato di partenza. Il rettangolo avente come base il segmento ottenuto e la stessa altezza del quadrato è un rettangolo aureo. La sua altezza è media proporzionale tra la base e il segmento ottenuto dalla differenza tra la base stessa e il lato del quadrato.

Si osservi ancora che partendo da un rettangolo aureo e tagliando da questo un quadrato, quello che rimane è ancora un rettangolo aureo, più piccolo.

L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei. Se uniamo poi i due vertici opposti dei quadrati successivi, com'è indicato in figura, otteniamo una spirale logaritmica, nota come la "spirale d'oro". La spirale logaritmica, che si ritrova sovente in natura, è l'unico tipo di spirale che mantenga sempre la stessa forma, quando continua ad allargarsi. Pensiamo ad esempio a certe conchiglie di molluschi che hanno proprio la forma della spirale logaritmica, forma che non cambia quando la conchiglia cresce.