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5. Pentagono, decagono e numero d'oro.

Dimostriamo che il rapporto tra il raggio di un cerchio e il lato del decagono regolare inscritto è uguale al numero d'oro.
Incominciamo a costruire sulla circonferenza di centro O e diametro AA' i punti B e C, tali che AOB = 36° e AOC = 108°. I segmenti AB e AC sono quindi rispettivamente i lati del decagono regolare e del decagono regolare stellato. Inoltre A'C o BC e A'B sono rispettivamente i lati del pentagono regolare e del pentagono stellato.
Consideriamo ora il triangolo OAB. E' un triangolo isoscele poiché i due lati AO e BO sono raggi della circonferenza e quindi se AOB = 36° abbiamo OAB e OBA = 72°. D'altra parte anche il triangolo OAC è isoscele perché AO e BO sono anch'essi raggi della circonferenza. Se AOC = 108°, abbiamo quindi OAC = OCA = 36°. In conclusione AC risulta la bisettrice dell'angolo OAB.

Se ne deduce facilmente che i triangoli ADO e DAB sono isosceli. Abbiamo quindi AB = AD = OD. Un teorema della geometria afferma che la bisettrice di un angolo divide il lato opposto in due parti proporzionali agli altri due lati.

Nel triangolo AOB, in cui AD è la bisettrice dell'angolo OAB abbiamo la proporzione OD : DB = AO : AB che diventa, con le uguaglianze precedenti: OB : OD = OD : DB. OD risulta quindi la sezione aurea del raggio, cioè OB/OD = phi e anche OA/AB = phi. Abbiamo così dimostrato che il rapporto tra il raggio della circonferenza e il lato del decagono inscritto è uguale al numero d'oro.
A questo punto sarà facile dimostrare che i triangoli isosceli ADO e AOC sono simili e quindi AC : OA = OA : DA, cioè AC/OA = OA/OD = phi. Dalla similitudine dei triangoli isosceli BCA' e ADO si ricava invece che A'B : A'C = OA : OD, cioè A'B/AC = OA/OD = OA/AB = phi. Si dimostra così che il rapporto fra il lato del pentagono stellato e il lato del pentagono regolare è uguale al numero d'oro, come avevamo già detto.
Il rapporto fra il lato del pentagono stellato o pentagramma, simbolo dei pitagorici, e il lato del pentagono regolare è quindi uguale a phi. Le diagonali del pentagono definiscono inoltre un nuovo pentagono, di cui possiamo tracciare ancora le diagonali che a loro volta definiscono un nuovo pentagono, come si vede in figura, e si può proseguire con questa costruzione all'infinito, con una successione in cui ogni segmento costruisce con il segmento di ordine immediatamente inferiore, un rapporto il cui valore è sempre il numero phi.