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Solidi Platonici

Se un poligono ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali possiamo chiamarlo "poligono regolare". E' un poligono regolare un triangolo equilatero, un quadrato, un pentagono con angoli e lati uguali, un esagono con il lato uguale al raggio delle circonferenza circoscritta. Per alcuni poligoni, ad esempio l'esagono, è molto semplice la costruzione, per altri, ad esempio il pentagono, la costruzione è molto più complessa.
Anche se la costruzione non sempre è agevole e non sempre si può fare solo con riga e compasso, è però sempre possibile pensare ad un poligono regolare con n lati, dove n può esprimere anche un numero molto grande: in altre parole, nel piano non esiste alcun limite al numero delle figure regolari che si possono costruire.
Per lo spazio la situazione è molto diversa.
Intanto diciamo che un poliedro regolare è:

un solido convesso, racchiuso da facce regolari,
tutte tra loro uguali.
Anche gli angoloidi dovranno essere tutti uguali: per angoloide intendiamo la parte di spazio racchiusa da tre o più piani che si intersecano lungo spigoli concorrenti in un vertice.


Per i poliedri c'è però un vincolo che per i poligoni non esiste:
la somma degli angoli che delimitano un angoloide non può raggiungere 360°
Per scoprire l'origine di questo vincolo possiamo usare un'apposita apparecchiatura: prendi una tavoletta di legno, fissa in tre punti non allineati gli estremi di tre elastici. Lega insieme gli altri tre estremi degli elastici, trovando in questo modo il punto V (vedi figura).
Sollevando V si può realizzare una piramide con la base fissa e gli angoloidi variabili.
Ora, man mano che ci avviciniamo alla base, si può notare che l'angoloide aumenta così come la somma dei singoli angoli formati dagli spigoli che concorrono in V.
Quando V sta sul piano di base accade che la somma degli angoli vale esattamente 360° però non esiste più la piramide, non si può più parlare di figura solida ma di figura piana.
Data questa condizione, si può provare che

esistono solo 5 poliedri regolari:
il tetraedro, il cubo o esaedro, l'ottaedro, il dodecaedro, l'icosaedro.
Arriveremo alla dimostrazione di quanto affermato.

Attività 0 (Illustrazioni tratte da : Triangoli - C.S.Ross; ed SCIENZA)
Visto che il poliedro deve essere costruito con facce regolari prendiamo in esame i vari poligoni regolari ed osserviamo che cosa accade.
Partiamo dal triangolo equilatero: ha gli angoli di 60° gradi.
Possiamo accostare 3 triangoli : 3 x 60° = 180° < 360°
Costruiamo così un angoloide. Poiché è possibile chiuderlo con un altro triangolo uguale ai precedenti, si può costruire un tetraedro
tetraedro: (da tetra = quattro) infatti è formato in tutto da 4 facce triangolari

 


Possiamo accostare 4 triangoli equilateri intorno ad un vertice si avrà : 4 x 60° = 240° < 360°

Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Se si chiude con un altro angoloide uguale, utilizzando in tutto 8 triangoli equilateri, si ottiene un solido che facce ed angoloidi uguali tra loro ed è quindi un poliedro regolare: un ottaedro.

 

 

Possiamo accostare 5 triangoli :
5 x 60° = 300° < 360°


Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Si può chiudere il poliedro utilizzando in tutto 20 triangoli equilateri uguali: si avrà un icosaedro (da icos = 20).

Accostando invece 6 triangoli equilateri
non è più soddisfatta la condizione che la somma degli angoli deve essere < 360°:

le facce si " schiacciano " su un piano.

Dunque non possono esistere altri poliedri regolari con facce triangolari ad di là dei tre già trovati.


Possiamo ora accostare dei quadrati:

con tre 3 x 90° =270° < 360°
si ottiene un angoloide che permette poi di costruire un cubo o esaedro

Già quattro quadrati non vanno più bene, perché la somma dei quattro angoli che concorrono in un vertice è uguale a 360°: si rimane così nel piano.

Possiamo usare dei pentagoni:
la somma degli angoli interni di un pentagono regolare è data da (n-2) *180° con n = 5
dunque ogni angolo interno misura 108°
così tre angoli misurano : 3 x 108° = 324° < 360°

Si ottiene un dodecaedro.
Ma con quattro pentagoni la somma supera 360°.

Con tre esagoni la situazione si presenta in questo modo:
ogni angolo interno misura 120°
Accostando tre esagoni si realizza un angolo di 360° . Questo non ci permette di uscire dal piano.

Non è possibile nessuna altra costruzione, con nessun altro poligono regolare. Infatti gli angoli interni dei poligoni regolari con più di 6 lati risulteranno maggiori di 120°. Poiché per costruire un angoloide occorrono almeno tre di tali poligoni, la somma degli angoli che delimitano l'angoloide sarebbe maggiore di 360° , mentre la condizione per poter costruire un solido (convesso) è che tale somma sia minore di 360°.
In tutto quindi non si possono avere che cinque poliedri regolari.