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Teorema di Eulero


In ogni poliedro se al numero di facce F addizionato al numero dei vertici V si sottrae il numero degli spigoli S
si ottiene sempre 2; in altre parole: La somma del numero di facce e del numero di vertici è uguale al numero degli spigoli aumentato di 2

Sarà quest'ultima affermazione che cercheremo di dimostrare riprendendo un'idea del prof. Carmelo Calò Carducci, presentata al convegno "Incontri con la Matematica 9" - 1997

Prima puntata
Immaginiamo di costruire un qualunque poliedro, purché formato da facce piane senza buchi.
Mentre lo costruiamo, dobbiamo tener conto da una parte del numero complessivo di facce e vertici rappresentati, dall'altra del numero complessivo di spigoli rappresentato.
La prima faccia è un poligono con un certo numero di vertici ed lo stesso numero di lati
( supponiamo n)

V= n

S= n

In questa situazione, F +V possiede una sola unità in più di S

F+ V = S + 1

Seconda puntata


Aggiungiamo un'altra faccia di m lati . Essa avrà
un lato (spigolo per il solido) che non conta perché sovrapposto ad uno spigolo già
contato
due vertici che non contano per lo stesso motivo.

Abbiamo però aggiunto una faccia e quindi quell' 1 in più che ha il numero di spigoli aggiunti, rispetto ai vertici, viene numericamente pareggiato dall' 1 costituito dalla faccia aggiunta.

F + V = (1 + n) + 1 + ( m -2)

S = n + (m - 1)

La situazione resta immutata: F + V = S + 1


Terza puntata
Pensiamo di essere arrivati alla fine della costruzione con un'altra faccia da aggiungere ( come coperchio di una scatola)


Non aggiungeremo nessun vertice, non aggiungeremo nessun spigolo, abbiamo però da aggiungere una faccia
F + V = S + 2
Ed è il risultato che ci aspettavamo e che possiamo anche scrivere in altro modo:

F + V - S = 2