Appunti per una lezione

L’infinito: un itinerario didattico tra matematica e filosofia

di Luigi Tomasi

L.S. “Galilei” di Adria (Ro), SSIS Università di Ferrara

 

  “Ci sono due famosi labirinti in cui la nostra ragione spesso si perde: problema della libertà e necessità da un lato, dall’altro continuità e infinito” (G.W. Leibniz)

 

Sommario:

1. Attività in classe con supporti tradizionali
2. Attività della classe con l’uso della rete; commento ai siti consultati
3. Verifiche
4. Conclusioni
5. Riferimenti bibliografici

 

Premessa:

L’ultima parte dell’itinerario sull’infinito matematico qui delineato è stata effettivamente svolta in una classe quinta di liceo scientifico sperimentale per la matematica (con il programma del PNI - Piano Nazionale per l’Informatica), occupando il lavoro della classe per circa tre settimane, nella parte finale dell’anno scolastico, in preparazione del colloquio di esame. Diversi spunti tuttavia, ai quali si accenna nel seguito, possono costituire una buona base di lavoro anche nelle classi precedenti e possono essere finalizzati non soltanto all’esame, ma soprattutto per presentare la matematica come essa è, ovvero come parte integrante della cultura e del pensiero.
L’esame di stato prevede la possibilità per gli studenti di presentare, all'inizio del colloquio, un argomento che sia stato approfondito da tutta la classe o individualmente nel corso dell’ultimo anno. L’argomento qui delineato si presta particolarmente bene ad essere affrontato da diversi punti di vista, con il contributo di diverse discipline, in modo, appunto, “pluridisciplinare” e richiede una conoscenza della matematica estesa a tutto il corso di studi di scuola superiore. A volte gli studenti preparano questi percorsi senza un adeguato approfondimento, limitandosi a “scaricare” dalla rete informazioni che poi, a volte, non sanno organizzare e discutere. E’ quindi necessario che, con la guida dei docenti, le fonti vengano verificate in modo rigoroso, in modo da evitare di stabilire dei “collegamenti” gratuiti e non fondati.
Il tema è quindi pensato come un itinerario di matematica per le classi finali della scuola secondaria con l’uso della rete Internet, ma anche degli strumenti didattici tradizionali, che affronta un tema particolarmente affascinante, alla base di molta parte del pensiero matematico, con forti collegamenti con la filosofia. Il tema attraversa l’intera storia della matematica e può costituire una sorta di “filo rosso” attorno al quale esaminare le opere dei molti matematici che hanno cercato di “imbrigliare” il concetto di infinito e, in un certo senso, di “addomesticarlo”.
David Hilbert (1921) afferma:
"L’infinito! Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito".

David Hilbert (1862-1943)

Molto di quello che si studia in matematica si incentra su tali concetti. L’infinito è un concetto caratteristico della matematica. In geometria si parla di “infinita” prolungabilità della retta, della possibilità di suddividere un segmento in n parti uguali, con n che può essere “grande quanto si vuole”; di approssimazione dell’area del cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti, ecc.
In analisi matematica, che non dimentichiamolo si chiama anche “infinitesimale”, l’infinito è continuamente presente in tutti i problemi ed anzi se ne fa un uso “disinvolto”. Non si può parlare di concetti fondamentali della matematica – come quelli di numero reale, di continuità, di derivabilità e di integrabilità di una funzione – senza fare uso della nozione di limite di una funzione. Ebbene, nella nozione di limite, che nella storia della matematica ha richiesto un tempo piuttosto lungo per la sua definizione, si utilizza continuamente la nozione di “infinito” ed esistono dei teoremi che insegnano quasi a fare un “calcolo con gli infiniti”. L’infinito viene quindi dominato e quasi sottoposto ad un calcolo algebrico nello studio dell’analisi matematica. Questo “dominio” sull’infinito, raggiunto progressivamente con la sistemazione dell’analisi matematica, costituisce un apprendistato piuttosto faticoso quando un allievo inizia lo studio dei limiti di funzione. L’analisi matematica costituisce la base di tutti gli studi scientifici, in particolare costituisce il linguaggio della fisica e di tutte le discipline scientifiche e tecnologiche che utilizzano lo strumento matematico.
Da queste considerazioni di carattere generale consegue la proposta di un itinerario didattico volto ad approfondire il concetto di infinito matematico, per farne scoprire la valenza culturale ed anche per comprendere il legame della matematica con la filosofia, per far avvicinare gli allievi ad alcuni momenti particolarmente significativi della storia del pensiero matematico.
Per una prima introduzione al concetto di “infinito”, si può consultare la seguente pagina nel bellissimo sito creato da Alexander Bogomolny, professore di matematica nella Iowa University, USA:
http://cut-the-knot.com/do_you_know/few_words.html#infinity
oppure l’ottima voce “Infinito” nel Dizionario di Matematica elementare di Stella Baruk (citato nella bibliografia).
L’infinito è causa di paradossi e antinomie (o contraddizioni). Negli Elementi di Euclide – libro I, Nozione comune VIII - si trova l’affermazione “il tutto è maggiore della parte”, che viene superata in Cantor. Anche Galileo si scontra con i paradossi dell’infinito: i quadrati “perfetti”, i quadrati dei numeri naturali, sono tanti quanti sono i numeri naturali. Quando si tratta di insiemi infiniti l’affermazione “il tutto è maggiore della parte” non è più valida; tale affermazione, anzi, può essere usata per definire un insieme infinito, come farà Richard Dedekind (1831 – 1916) alla fine dell’Ottocento.

Richard Dedekind (1831-1916)

Una delle più grandi rivoluzioni del pensiero matematico si sviluppa nella seconda metà dell'Ottocento quando viene introdotta, per opera soprattutto di Georg Cantor (1845-1918), la teoria degli insiemi, che sarà alla base di tutta la matematica del Novecento. Cantor introduce il concetto di “cardinalità” di un insieme e dimostra che la cardinalità dell’insieme dei numeri reali, detta anche “cardinalità del continuo”, è maggiore della cardinalità dell’insieme dei numeri naturali , la “cardinalità del numerabile”. Questo significa che è impossibile mettere in corrispondenza biunivoca l’insieme dei numeri naturali con l’insieme dei numeri reali. Con un celebre procedimento Cantor dimostra invece che l’insieme dei numeri razionali può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali e che quindi l’insieme dei razionali è un insieme numerabile.
Con Lucio Lombardo Radice (1916-1982), possiamo dunque dire che “Georg Cantor scopre, misura e classifica il transfinito” (L’infinito, Roma 1981).
Elenchiamo nel seguito, senza la pretesa di essere esaustivi, una serie di argomenti, che il docente di matematica può sviluppare nelle ultime classi della scuola media superiore, che si ricollegano tutti al tema dell’infinito in matematica.