Numero e

di Federico Peiretti

Liceo classico Cavour - Torino

 

Questa non vuole essere una lezione introduttiva al concetto di logaritmo, del quale prevede la conoscenza, almeno a livello elementare. E' invece una lezione di presentazione di uno dei numeri più importanti e più famosi della storia della matematica: il numero e.

 

Il numero e, pur essendo della stessa specie del pi greco e del numero d’oro, non è molto noto al di fuori dell’ambiente matematico. E’ un numero che meriterebbe maggior considerazione, un numero che gioca un ruolo fondamentale non solo in matematica, ma in tante applicazioni. Nello studio, ad esempio, del decadimento radioattivo, della crescita di una popolazione, della diffusione di un’epidemia e soprattutto di problemi economici. Certo è più semplice afferrare il significato del pi greco: dividiamo la lunghezza di una qualsiasi circonferenza per il suo diametro e il gioco è fatto, ecco comparire il “3 e 14” o meglio il 3 seguito da infinite cifre decimali.

Eppure anche il numero e non è poi così complicato, ma dobbiamo partire dalle sue radici storiche, dalle applicazioni a problemi economici, dai primi che si sono chiesti quale potesse essere il miglior investimento di un capitale, come questo potesse aumentare nel tempo, e quale guadagno ne avrebbero potuto ricavare. Far fruttare il denaro è una preoccupazione antica, che risale alle origini del pensiero matematico.
Ecco un problema riportato su una tavoletta babilonese, conservata al Louvre di Parigi, del 1700 a. C.:

Quanto tempo ci vorrà – si chiedeva l’anonimo autore – perché una certa somma di denaro raddoppi, se ogni anno aumenta del 20%?

Messo, ad esempio, uguale a 100 il capitale iniziale, sarà sufficiente moltiplicare per il fattore 1,2. Dopo il primo anno avremo:

100 · 1,2 = 120

E dopo quattro anni avremo 207,36. La risposta è un numero fra i 3 e i 4 anni.
Con un capitale iniziale posto uguale a 1 abbiamo 1,2x = 2 e abbiamo

1,23 = 1,728 e 1,24 = 2,0736

Possiamo quindi affermare che 3 < x < 4, Ma per risolvere l’equazione 1,2x = 2 dobbiamo usare i logaritmi, che i babilonesi non conoscevano, e potevano procedere soltanto per interpolazione. In questo modo arrivarono al valore 3,7870 molto vicino al valore corretto, x = 3,8018.
I babilonesi non usavano il nostro sistema decimale, ma il sistema sessagesimale e quindi, sulla tavoletta del Louvre, il numero indicato è scritto: 3;47,13,20, cioè 3 + 47/60 + 13/602 + 20/603.

Se calcoliamo l’interesse una volta all’anno, otteniamo il risultato che abbiamo appena visto, ma chiediamoci: se lo calcoliamo ogni mese, oppure ogni giorno, ogni istante, cosa succederà? Se ogni successivo interesse, ottenuto lo sommiamo al capitale iniziale, come aumenterà il nostro capitale?
Chi sarà stato il primo a porsi questi problemi ai quali possiamo far risalire le origini dei logaritmi e quindi, come vedremo, anche del numero e?

Vediamo un problema più semplice, proposto da André Warusfel nella sua lezione esemplare sui logaritmi, riportata in un aureo libretto, Les nombres et leurs mystères, Editions du Seuil, 1961. Ci servirà per chiarire i problemi posti dalle nostre domande.

Immaginiamo che un nuovo Paperone abbia a disposizione la somma di un milione di Euro e che riesca, con un investimento da sogno, a raddoppiare ogni anno il suo capitale.
Indichiamo con M, quello che si chiama il montante, cioè il capitale iniziale più gli interessi, maturati in un certo numero a di anni.
In tabella:

Anni 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Capitale 1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...

Una prima osservazione: l’anno corrispondente a un capitale M è il logaritmo del capitale:

a = log M

Ricordiamo infatti che in generale il logaritmo di un numero positivo b, rispetto a una base a, positiva e diversa da 1, è l'esponente che si deve attribuirealla base a per avere b. Diremo che questo logaritmo è in base 2 poiché M ogni anno viene moltiplicato per 2.
Ad esempio,

0 = log2 1; 1 = log2 2; 2 = log2 4; 3 = log2 8; 4 = log2 16; 5 = log2 32;…

Ora noi sappiamo che

2 x 16 = 32

Qual è la relazione che lega i logaritmi di questi tre numeri?

log2 2 + log2 16 = log2 32 ovvero 1 + 4 = 5

La moltiplicazione è diventata un’addizione!
Infatti, scrivere a = log2 M significa M = 2a e sappiamo che

21 x 24 = 2 x 16 = 21 + 4 = 25 = 32


Complichiamo il gioco. Immaginiamo sempre che il Capitale raddoppi ogni anno, cioè che il tasso annuo sia sempre 100%, ma che il calcolo del Montante avvenga non più ogni anno, ma con gli interessi capitalizzati ogni mese.
Dopo un mese il Montante sarà 1 ( 1 + 1/12), dopo due mesi (1 + 1/12)2. In effetti il tasso mensile è 1/12 x 100%, ossia 1/12.
Dopo un anno non avremmo quindi 2 milioni di Euro, come avevamo visto all’inizio, ma
1 000 000 x (1 + 1/12)12 = 2 620 000

La determinazione della formula generale, per quella che si chiama capitalizzazione composta e che si trova su qualsiasi libro di Matematica Finanziaria, può aiutarci a capire meglio il problema.
Se calcoliamo il montante per un anno, al tasso annuo i (nel nostro esempio 100%) avremo

M = C(1 + i)

Se calcoliamo invece il montante per un anno, ma suddividendo l’anno in due semestri e aggiungiamo l’interesse, calcolato dopo i primi sei mesi, al capitale iniziale, avremo il nuovo montante

M = C(1 + i/2)2

Infatti, per sei mesi, il tasso di interesse è i/2 (nell’esempio precedente sarebbe il 50%). Quindi il montante dopo i primi sei mesi è

M1 = C + C i/2 = C ( 1 + i/2)

Ed è su questo che dobbiamo calcolare il nuovo montante per i successivi sei mesi:

M = M1 + M1 i/2 = M1 (1 + i/2) = C ( 1 + i/2)(1 + i/2) = C(1 + i/2)2

Allo stesso modo, se suddividiamo l’anno in tre parti, e l’interesse maturato nel primo quadrimestre lo aggiungiamo al capitale iniziale per produrre, insieme con esso, il nuovo interesse nel quadrimestre successivo e seguiamo ancora questo procedimento per l’ultimo quadrimestre, arriviamo alla formula

M = C(1 + i/3)3

Quentin Metsys, Il cambiavalute e sua moglie, 1514

Se suddividiamo il calcolo, in generale, per un intervallo di tempo n, avremo:

M = C(1 + i/n)n

Una formula che si dimostra facilmente per induzione.

In particolare con il calcolo dell’interesse composto mensile avremo

M = (1 + i/12)12

Nel nostro esempio precedente, che ora riprendiamo, avevamo i = 1.

Calcoliamo, a questo punto, l’interesse composto non mensilmente ma quotidianamente per il nostro Capitale di un milione di Euro al 100%.
In un anno avremo il Montante composto

M = 1 000 000 x (1 + 1/365)365 = 2 714 567

Immaginiamo ancora che l’interesse composto venga calcolato ad ogni istante. Certo dovremmo definire che cosa intendiamo per istante, ma per ora accontentiamoci di dire che suddividiamo l’anno in un numero di intervalli tendente all’infinito.

Contrariamente a quello che si potrebbe ingenuamente pensare, non avremo un montante infinito. Ma il limite di (1 + i/n)n, con n molto grande, è ancora una somma ragionevole:

lim di (1 + i/n)n = 2,718281828459045235360287… = e

Nel nostro esempio, avremo quindi, all’incirca, la somma di 2 718 282 Euro. Ed ecco comparire il numero e. Con questo nuovo, ideale sistema bancario, la tabella del fortunato Paperone diventa:

Anni 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Capitale 1 e e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 ...

Per mettere in grafico l’evoluzione del capitale del nostro Paperone, dobbiamo semplicemente unire i punti corrispondenti ai valori della tabella. Otteniamo così una bella curva continua che definisce la funzione y = ex. Tale funzione, come la curva che la rappresenta, si chiama esponenziale .
La funzione inversa è x = loge y = log y.
Il nome di x è logaritmo naturale e la base di questo sistema è il numero e che abbiamo appena definito. Per la storia del numero e siamo debitori a un libro di Eli Maor, grande maestro nell’arte dell’insegnamento e della divulgazione, e: the story of a number, pubblicato dalla Princeton University Press nel 1994.
Una storia interessante, quella del numero e, ma difficile da chiarire. Non è facile nemmeno stabilire la sua data di nascita. Siamo comunque all’inizio del diciassettesimo secolo, un periodo di grandi sviluppi finanziari, con un’attenzione particolare quindi per il problema dell’interesse composto.

Jacob Bernoulli, 1654 - 1705

Jacob Bernoulli fu tra i primi ad occuparsi di questo problema, nel 1683. Egli tentò di calcolare
il limite di (1 + i/n)n per n tendente all’infinito
usando per questo il teorema del binomio.
E’ il teorema studiato da Pascal e presentato, nei termini moderni, in un suo libretto pubblicato postumo nel 1665. Per qualsiasi n intero positivo si ha la serie binomiale

dove il simbolo binomiale

è

Ad esempio, (x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

Il teorema si può estendere al caso di un esponente negativo, frazionario o irrazionale. Bernoulli arrivò, grazie a questo teorema, a stabilire che e doveva essere compreso fra 2 e 3 e possiamo considerare questo risultato come la prima approssimazione del numero e. Prima di Bernoulli, John Napier (italianizzato in Nepero) e altri, nei loro studi sui logaritmi, alla ricerca della base più opportuna, si erano già avvicinati al numero e, senza però un suo riconoscimento preciso.
Seguiamo le riflessioni di Eli Maor sulla determinazione della base dei logaritmi, da parte di John Napier.

La linea di pensiero di Napier era questa: se possiamo scrivere qualsiasi numero positivo come potenza di un dato numero fisso, chiamato in seguito base, allora la moltiplicazione e la divisione dei numeri diventa equivalente all’addizione e sottrazione dei loro esponenti. Inoltre, elevare un numero alla potenza ennesima, cioè moltiplicare il numero per se stesso n volte, sarebbe equivalente ad addizionare l’esponente n volte a se stesso, cioè moltiplicarlo per n, e trovare la radice ennesima di un numero sarebbe equivalente a n sottrazioni ripetute, cioè alla divisione per n. In breve, ogni operazione aritmetica verrebbe abbassata di un livello nella gerarchia delle operazioni, riducendo quindi notevolmente la fatica del calcolo numerico.
Vediamo come funziona questa idea scegliendo come base il numero 2. La tabella seguente riporta le potenze del 2, da n = - 3 a n = 12.

n -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2n 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

Supponiamo di voler moltiplicare 32 per 128. Vediamo dalla tabella che gli esponenti corrispondenti a questi due numeri sono rispettivamente 5 e 7. Sommando questi esponenti otteniamo 12. Ora procediamo in senso inverso, cercando il numero al quale corrisponde l’esponente 12. Questo numero è 4096 e questa è la nostra risposta. Come secondo esempio, pensiamo di voler calcolare 45. Cerchiamo l’esponente corrispondente a 4, cioè 2 e moltiplichiamolo ora per 5, ottenendo 10. Cerchiamo poi il numero corrispondente a 10 e troviamo 1024. Ed è proprio

45 = (22)5 = 210 = 1024

Naturalmente uno schema così elaborato non è necessario per i calcoli con i numeri interi, il metodo sarebbe di uso pratico e conveniente soltanto se potesse essere usato con qualsiasi numero, intero o fratto. Ma per questo dobbiamo per prima cosa riempire gli ampi vuoti, tra un numero e l’altro, della nostra tabella. Possiamo fare questo in due modi:usando esponenti frazionari oppure scegliendo come base un numero sufficientemente piccolo in modo che le sue potenze crescano abbastanza lentamente. Gli esponenti frazionari, definiti da am/n = (am)1/n, ad esempio 25/3 = (25)1/3 = (32)1/3˜ 3,17480, non erano sufficientemente noti al tempo di Napier, e così aveva come scelta soltanto la seconda opzione. Ma quanto doveva essere piccola la base? Evidentemente se la base è troppo piccola le sue potenze crescerebbero troppo lentamente, rendendo il sistema di scarsa utilità pratica. Sembra che un numero vicino a 1, ma non troppo vicino, possa essere un ragionevole compromesso. Dopo anni di tentativi , Napier si decise per il numero 0,9999999, ovvero 1 – 10-7.
Perché questa scelta? La risposta sembra essere nella decisione di Napier, di usare il meno possibile frazioni decimali. In generale, le frazioni erano ovviamente in uso da migliaia di anni, ma venivano quasi sempre scritte semplicemente come rapporto di numeri interi. Le frazioni decimali – l’estensione del nostro sistema di numerazione decimale ai numeri inferiori a 1 – erano state introdotte soltanto poco tempo prima in Europa (da Simon Stevin, 1548 – 1620), e la gente non ne aveva ancora una grande famigliarità. Per ridurne l’uso, Napier fece in pratica quello che facciamo noi oggi quando dividiamo un dollaro in cento centesimi o un chilometro in mille metri: egli divise l’unità in un gran numero di sottounità, considerando ognuna di queste come una nuova unità. Poiché il suo obiettivo primario era di ridurre il gran lavoro collegato ai calcoli trigonometrici, seguì il metodo allora in uso di dividere il raggio di un cerchio unitario in dieci milioni di parti, ovvero 107. Se sottraiamo poi dall’intera unità la sua decimilionesima parte, otteniamo il numero più vicino a 1 in questo sistema, 1 – 10-7 ossia 0,9999999. Questo è stato quindi il rapporto comune (“proporzione” come scrisse) che Napier usò per costruire la sua prima tavola.
A questo punto si prefisse il compito di trovare, con noiose sottrazioni ripetute, i termini della sua progressione. Questo dev’essere stato sicuramente uno dei compiti meno piacevoli che uno scienziato potesse affrontare, ma Napier se ne fece carico, dedicando vent’anni della sua vita, dal 1594 al 1614, per completare il lavoro. La sua tavola iniziale comprendeva soltanto 101 valori, partendo da 107 = 10 000 000 e proseguendo con 107(1 – 10-7) = 9 999 999, quindi 107(1 – 10-7)2 = 09 999 998 e così via fino a 107(1 – 10-7)2 = 9 999 900 (ignorando la parte frazionaria 0,0004950). Ogni termine si ottiene dal termine precedente sottraendo la sua 107-esima parte. Napier ripeté questo procedimento diverse volte, iniziando sempre con 107, ma prendendo la seconda volta, come proporzione, il rapporto fra l’ultimo numero e il primo della sua tavola originale, cioè 9 999 900 : 10 000 000 = 0,99999, cioè 1 – 10-5. Questa seconda tavola conteneva 51 valori, l’ultimo dei quali era 107(1 – 10-5)50 ovvero approssimativamente 9 995 001. Una terza tavola, con 21 valori, usava il rapporto 9 995 001 : 10 000 000. L’ultimo valore di questa tavola era 107 x 0,999520, approssimativamente 9 900 473. Infine da ciascun valore di quest’ultima tavola Napier creo 69 ulteriori valori, usando il rapporto 9 900 473 : 10 000 000, all’incirca 0,99. L’ultimo valore risultò 9 900 473 X 0,9968, circa 4 998 609, prossimo alla metà del numero di partenza.

John Napier, 1550 - 1617

Certo, oggi un tale lavoro spetterebbe al computer, perfino una calcolatrice tascabile potrebbe svolgere questo lavoro in poche ore. Ma Napier fu obbligato a svolgere tutti i suoi calcoli soltanto con carta e penna. E si può quindi capire la sua intenzione di ridurre al minimo l’uso delle frazioni decimali. Come egli stesso scrisse: “Nel costruire questa progressione [i valori della seconda tabella], poiché il rapporto tra 10 000 000 ,00000, il primo della seconda tavola, e 9 995 001,222927, l’ultimo della medesima, è complicato, allora calcola i 21 numeri nel rapporto più semplice di 10 000 a 9 995, che è sufficiente come approssimazione. L’ultimo di questi, se non avrai fatto errori, sarà 9 900 473,57808”.
Dopo aver finito questo lavoro grandioso, a Napier non restava che battezzare la sua creazione. Dapprima chiamò l’esponente di ogni potenza il suo “numero artificiale”, ma più tardi decise di adottare il termine logaritmo, parola di origine greca che significa “rapporto numerico”. In notazione moderna, se (in riferimento alla prima tavola) N = 107(1 – 10-7)L , allora L è il logaritmo Neperiano di N. La definizione di logaritmo, data da Napier, differisce sotto molti aspetti dalla definizione moderna (introdotta nel 1728 da Eulero): se N = bL, dove b è un dato numero positivo diverso da 1, allora L è il logaritmo con base b di N. Nel sistema di Nepero quindi L = 0 corrisponde a 107 , poiché Nap log 107 = =, mentre nel sistema moderno L = 0 corrisponde a N = 1, poiché logb 1 = 0. E più importante ancora, la regola fondamentale dell’operazione con i logaritmi, per esempio che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei singoli logaritmi, non risulta dalla definizione di Nepero. Infine, poiché 1 - 107è minore di 1, i logaritmi di Nepero decrescono al crescere dei numeri, mentre i nostri logaritmi in base 10 crescono. Queste differenze tuttavia sono relativamente meno rilevanti e sono soltanto un risultato dell’insistenza di Nepero sul fatto che l’unità dovesse essere uguale a una sottounità di 107. Se non fosse stato così preoccupato per le frazioni decimali, la sua definizione sarebbe stata più semplice e più vicina a quella moderna.
Col senno del poi, ovviamente, possiamo dire che è stata una deviazione inutile, ma percorrendola, Nepero senza rendersene conto arrivò a un soffio dalla scoperta di un numero che, un secolo più tardi, sarebbe stato riconosciuto come base universale dei logaritmi e che avrebbe giocato in matematica un ruolo importante, secondo soltanto a . Questo numero, e, è il limite di (1 + i/n)n per n tendente all’infinito.

In un lavoro di Nepero, pubblicato postumo nel 1618, compare in appendice una tavola che riporta i logaritmi in base e di diversi numeri. La tavola non riporta però il nome dell’autore e potrebbe quindi non essere di Nepero. Nel 1624 ricompare il numero e in un lavoro di Briggs, il matematico amico di Nepero con il quale costruì le tavole dei logaritmi in base 10, compare il valore del logaritmo di e in base 10.

Leonhard Euler, 1707 – 1783

E’ stato Leibniz, tra i primi, a riconoscere ufficialmente il numero e. In una lettera indirizzata a Huygens, del 1690, usa la lettera b per indicare questo numero che finalmente ottiene un nome, anche se non era ancora quello che noi usiamo oggi.
L’uso della lettera e per il nostro numero risale invece a Leonhard Euler, italianizzato Eulero, che Maor definisce il “Mozart della matematica”. Compare per la prima volta in una sua lettera, del 1731, indirizzata a Goldbach. Lettera e come “esponenziale” o forse come “Eulero”, in un eccesso di narcisismo del grande matematico, ma più semplicemente qualcuno fa osservare che Eulero scelse la e perché è la prima vocale che segue la a, una lettera che aveva già usato in altri suoi lavori. Egli presentò uno studio approfondito del numero e nel suo libro Introductio in Analysin infinitorum, pubblicato nel 1748, nel quale dimostrò che il limite di (1 + i/n)n , con n tendente all’infinito, è uguale ad e, inoltre trovò le prime 18 cifre decimali di e, 2.718281828459045235, senza dire con quale metodo fosse arrivato a questo risultato.

Egli dimostrò che

inoltre che il numero e è il limite di (1 + 1/n)n per n tendente all’infinito.
Altri risultati interessanti di Eulero sono i seguenti:

 

Eulero non diede una prova del fatto che queste frazioni fossero continue (ed effettivamente lo sono), ma sapeva perfettamente che se avesse scoperto tale prova avrebbe dimostrato che e è un numero irrazionale. Si dovrà attendere ancora più di un secolo per definire la vera natura di e. Quando Charles Hermite, nel 1873, provò che e è un numero trascendente, cioè che non può essere soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti interi.

Il matematico Benjamin Peirce davanti alla lavagna sulla quale nel 1864, durante una conferenza, scrisse l’equazione di Eulero, exi= cos(x) + sin(x) i
che collega tra loro numeri complessi e il numero e. Da questa si ricava:ei = -1
Nell’occasione, Peirce disse:
Signori, non abbiamo la minima idea di che cosa significhi questa equazione, ma siamo sicuri che è qualcosa di molto importante.

Alcuni matematici, oggi per lo più dilettanti, si dedicano al calcolo delle cifre di e di e. Per il record attuale è di un giapponese, Kanada, che a calcolato (naturalmente al computer) 206 158 430 000 cifre di . Siamo oltre i mille miliardi di cifre con il nuovo record non ancora riconosciuto. Siamo invece a 51 539 600 000 cifre, per e, il record è del 2003.

Una semplice regola mnemonica per ricordare le prime cifre di e: 2,718281828. Il 1828 è l’anno in cui Andrew Jackson venne eletto settimo presidente degli Stati Uniti.

Nel 1935, la rivista SAPERE bandì un concorso fra i suoi lettori per le migliori frasi o poesie utili per ricordare le cifre di e di e.
Alcune di queste sono riportate nel bel libro di Italo Ghersi, Matematica curiosa e dilettevole, Hoepli, 1978.


Eccone alcune riguardanti il numero e:

Ai modesti o vanitosi
ai violenti o timorosi
do, cantando gaio ritmo,
logaritmo…

(Giorgio Rabbeno)
2,718
2818
2845
9…

 

La bambina è affamata
la minestra è squisita
la scodella vien tosto terminata…
(Raoul Bilancini)

Il numero e in libreria e in rete.

 

Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici, Vol. 4°, pp. 22 - 29, Sansoni, 1977

Martin Rees, Just Six Numbers: The Deep Forces That Shape the Universe, Basic Books, 2001.

Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press, 1994.

Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici, Vol. 4°, pp. 22 - 29, Sansoni, 1977.

André Warusfel, Les nombres et leurs mystères, Editions du Seuil, 1961.

J L Coolidge, The number e, Amer. Math. Monthly, n. 57, 1950.

 

La funzione esponenziale e il logaritmo, Appunti per il corso di Analisi Matematica I di G. Mauceri, Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova:
http://www.dima.unige.it/~mauceri/CORSI/funz_espon_Latex.pdf

Successioni, progressioni e il numero e, di Giulio Cesare Barozzi, :
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/MatheMath/Settembre_02/MatheMath.htm

La storia del numero e:
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html#s15

Una accurata presentazione del numero e:
http://mathworld.wolfram.com/e.html

Un saggio di Keith Tognetti - University of Wollongong NSW 2522 Australia: e, il magico numero della crescita.
http://www.austms.org.au/Modules/Exp/

Un articolo di Ivars Peterson:
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_11_9_98.html

Il significato del numero e, secondo Philip Spencer:
http://www.math.utoronto.ca/mathnet/answers/ereal.html

Sull’equazione di Eulero:
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.euler.equation.html

L’home page del numero e:
http://www.mu.org/~doug/exp/

Alla ricerca del numero e, tra banche, ospedali, edifici, ecc. che senza questo numero non potrebbero esistere:
http://www.ngsc.k12.in.us/tickit/in_search_of_the_missing.htm

Il calcolo del numero e:
http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html

Una dimostrazione di e irrazionale:
http://mathforum.org/isaac/problems/eproof.html

Le prime diecimila cifre di e:
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e_10000.html

E il primo milione di cifre di e:
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.2mil

L’origine dei simboli delle costanti matematiche:
http://members.aol.com/jeff570/constants.html

Applet Java per il grafico della funzione esponenziale, e del numero e come limite:
http://www.ies.co.jp/math/java/calc/expo/expo.html
http://www.ies.co.jp/math/java/calc/exp/exp.html

La Pi Symphony di Lars Erickson fondata sulle cifre del e del numero e:
http://www.pisymphony.com/