<< Capitolo precedente Indice Capitolo successivo >>

Euclide

Nel libro IX degli " ELEMENTI" la proposizione 36 afferma:

" Se partendo dall'unità si prendono quanti si voglia numeri raddoppiando successivamente sino a che la loro somma venga ad essere un numero primo, e se la loro somma stessa viene moltiplicata per l'ultimo dei numeri considerati, il prodotto sarà un numero perfetto."

Proviamo con qualche esempio:

1 + 2 = 3 3 è primo 3 x 2 = 6 6 è un numero perfetto
1 + 2 + 4 = 7 7 è primo 7 x 4 = 28 28 è un numero perfetto

Si può calcolare la somma di una serie con le successive potenze di 2.
Si tratta di una serie geometrica di ragione 2 con primo termine 1 ed ultimo 2^n.
Quindi
Sn-1 = 1+2^1+2^2+2^3+…….+2^(n-1) = 2^n - 1

Ora, per quanto riguarda l'affermazione di Euclide, in termini moderni si può dire che,

se 2^n - 1 è primo, allora 2^(n-1) (2^n -1 ) è perfetto

Forse è utile ricordare che

Un numero si dice perfetto se può essere ottenuto
come somma dei suoi divisori propri,
cioè tutti tranne se stesso.

La scoperta dei numeri perfetti è dovuta a Pitagora.

Ma quali numeri sono perfetti?