Un procedimento numerico e grafico per integrare una funzione: il metodo dei rettangoli

di Giuseppe Iaquinto

Liceo Scientifico VOLTA, Torino

 

Per calcolare l’area sotto una curva, in virtù del teorema fondamentale del calcolo integrale, occorre conoscere una primitiva della funzione che ha per grafico quella curva. Tuttavia nel ricercare le primitive di una funzione, si incontrano difficoltà inaspettate: non si hanno delle regole generali di “algebra degli integrali”, ma solo dei metodi validi per alcune categorie di funzioni. Inoltre i metodi di integrazione non possono essere applicati quando una funzione è data mediante un grafico o una tabella .
Vediamo come si può procedere per calcolare l’area sotto una curva, quando non si riesce a determinare la primitiva della funzione che descrive la curva

Area di un trapezoide e integrazione numerica con il metodo dei rettangoli

Nella figura 1 è disegnato il grafico di una funzione continua che si mantiene positiva in un intervallo e di cui non si riesce a trovare una primitiva.
Si voglia determinare cioè l’area del trapezoide relativo a nell’intervallo . Per esempio si debba calcolare

Figura 1

Per risolvere il problema possiamo procedere nel modo seguente (figura 2) .
- Dividiamo l’intervallo in n intervalli uguali, lunghi
- Consideriamo in ogni intervallo il punto medio, in modo da avere

……
  ……  

- Calcoliamo la somma delle aree degli n rettangoli di base h e altezza ;
si ottiene

e quindi

- Assumiamo come valore approssimato dell’area cercata.

Figura 2

Questo procedimento, proprio perché approssima l’area del trapezoide con l’area di una superficie formata da tanti rettangoli ( fig 3), viene detto metodo dei rettangoli .

Figura 3

E’ proprio la definizione di integrale che ci fa capire che per avere una buona approssimazione occorre dividere l’intervallo in un numero n considerevole di intervalli e avere quindi h molto prossimo a zero.

Applichiamo il metodo dei rettangoli per calcolare un ’area di cui conosciamo il valore esatto: per esempio l’area sotto la parabola d’equazione nell’intervallo (fig 4) . Sappiamo infatti che risulta

Figura 4

Dividendo l’intervallo in 6 parti congruenti (fig 5) , con il metodo dei rettangoli avremo

Si arriva ad un valore dell’integrale abbastanza vicino a quello esatto.

Figura 5

Integrazione grafica

Consideriamo una funzione continua , data in un intervallo mediante un grafico cartesiano e vediamo come il metodo dei rettangoli può essere realizzato anche per via grafica.
Il procedimento si basa su una costruzione che permette di visualizzare, tramite la lunghezza di un segmento, la misura dell’area di un rettangolo tracciato in un riferimento cartesiano.
Disegniamo come nella figura 6 il rettangolo di vertici , , , .

Figura 6

Effettuiamo la costruzione seguente (fig 7.):
- proiettiamo il punto A sull’asse y, si ottiene il punto A’;
- fissiamo sull’asse x il punto ;
- tracciamo la retta PA’;
- tracciamo da D la retta parallela a PA’, sino ad incontrare in H la retta CB.

Figura 7

Poiché gli angoli e sono congruenti in quanto angoli corrispondenti di rette parallele, i triangoli rettangoli POA’ e DCH sono simili; risulta

cioè

e quindi

Pertanto visto che l’area S del rettangolo ABCD è data da

si conclude che la misura della lunghezza del segmento HC esprime anche la misura dell’area S del rettangolo ABCD.

A partire da questa costruzione è possibile approssimare per via grafica l’area S del trapezoide relativo ad una funzione continua che nell’intervallo sia positiva e più in generale calcolare l’integrale definito , a prescindere dal segno di .

Ecco come si procede (fig 8.).

Figura 8

- Si divide l’intervallo in n intervalli congruenti di lunghezza
- In ogni intervallo si considera il punto medio; si ottiene

……

- Si fissa sull’asse x il punto

- Relativamente al primo intervallo
· si costruisce il rettangolo , di base h e altezza
· si proietta sull’asse y; si ottiene il punto
· si traccia la retta
· da A si traccia la parallela a sino ad incontrare in
Si ottiene così

- Relativamente al secondo intervallo
· si costruisce il rettangolo , di base h e altezza
· si proietta sull’asse y; si ottiene il punto
· si traccia la retta
· da A si traccia la parallela a sino ad incontrare in
Si ottiene così e

- Si ripete una costruzione analoga sino ad esaurire gli intervalli ed ottenere (fig 9)

La misura della lunghezza del segmento esprime anche il valore approssimato dell’area S.

Figura 9

Questo metodo grafico, come il corrispondente metodo numerico dà un’approssimazione che migliora con il crescere del numero n di intervalli; fornisce però un’opportunità in più (fig 10) : all’aumentare del numero n di intervalli la poligonale tende ad una curva sulla quale, in corrispondenza di ogni ascissa x, è possibile leggere il valore che esprime il valore dell’integrale definito, cioè .

In particolare se >0, esprime l’area del trapezoide sotteso al grafico della funzione nell’intervallo .

Figura 10

Il procedimento grafico permette quindi di tracciare il grafico approssimato di una primitiva della funzione ; si tratta della primitiva caratterizzata dalla proprietà .
E’ chiaro che per avere un’idea dell’insieme delle primitive della funzione data basta disegnare tante curve come quelle della figura 11 opportunamente traslate lungo l’asse delle ordinate (fig 12).

Figura 11

Figura 12

Per apprezzare l’efficacia del metodo di integrazione grafica tracciamo

1. il grafico di con x variabile nell’intervallo
2. il grafico di con x variabile nell’intervallo
3. il grafico di con x variabile nell’intervallo

Nel primo caso la poligonale che si ottiene dividendo l’intervallo in sole 6 parti è già abbastanza vicina all’arco di sinusoide e in effetti

Figura 13

E’ da evidenziare che assume nell’intervallo sia valori positivi che negativi.

Nel secondo caso la poligonale che si ottiene dividendo l’intervallo in sole 6 parti è già abbastanza vicina all’arco di parabola e in effetti

Figura 14

Il terzo caso permette di trovare per via grafica una primitiva che non si può calcolare per via elementare.

Figura 15

Si ha pertanto la possibilità di determinare l’area del trapezoide relativa ad nell’intervallo con x che varia nell’intervallo (fig 16)

Figura 16 (per scaricare la costruzione animata in Cabri cliccare qui)