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Matematica e… code Dalle code al supermercato alla teoria delle code
Se sei di buon umore, non ti preoccupare. Ti passerà. Uomini e nazioni agiranno razionalmente solo dopo aver esaurito ogni altra possibilità Gli amici vanno e vengono, i nemici si accumulano. E' normalmente poco pratico preoccuparsi in anticipo di eventuali ostacoli: se non ce ne sono, qualcuno si preoccuperà di crearvene. Se non capite una parola in un brano scientifico, ignoratela. Il brano ne potrà benissimo fare a meno. Un idiota in un posto importante è come un uomo in cima a una montagna: tutto gli sembra piccolo e lui sembra piccolo a tutti. Non si perde mai nessun libro prestandolo, a eccezione di quelli cui si tiene particolarmente. Per quanto uno cerchi e si informi prima di comprare un qualsiasi articolo lo troverà a minor prezzo da un'altra parte non appena l'avrà' acquistato. Ogni ordine che può essere frainteso è stato frainteso. Dal Primo libro delle Leggi di Murphy di Arthur Bloch
Siamo davanti alle casse del supermercato, e dobbiamo decidere dove convenga metterci in coda. Calcoliamo quante persone ci sono in ogni fila, il volume delle merci nei vari carrelli e decidiamo. Ma inevitabilmente ci saranno code più veloci della nostra. Questa situazione, e altre simili, sono state codificate nelle cosiddette Leggi di Murphy, una delle quali afferma proprio: “Scegli la coda che vuoi, non sarà mai la più veloce”. E c’è anche la legge inversa: “Se la tua coda è la più veloce, allora sei nella coda sbagliata”. Ovvero, …soltanto per errore possiamo aver scelto la coda più veloce.
Edward A. Murphy Jr., era un ingegnere che
cinquant’anni fa lavorava al Centro di Ricerca della U.S. Air
Force, e aveva notato come i tecnici impegnati nel suo laboratorio compromettessero
ogni esperimento con inevitabili errori: “Se qualcosa può
andar storto – dichiarò sconsolato e rassegnato, in una
conferenza stampa – andrà sicuramente storto”, If
something can go wrong, it will. La battuta fece il giro degli
ambienti scientifici, venne arricchita da nuove leggi, applicate alle
situazioni più diverse e il tutto venne raccolto da Arthur Bloch
in una serie di divertenti libretti, dal titolo Leggi di Murphy.
Ad oggi, sono usciti tre libri di “murphologia”, ovvero
collezioni di pensieri murphologici, tradotti in italiano da Longanesi,
che propone quest’anno anche L’Agenda di Murphy 2006,
con gli aforismi più recenti.
Il primo esempio, molto semplice, è la coda di auto a un incrocio stradale, dove un semaforo stabilisce i tempi di scorrimento del traffico tra due vie. Su una delle vie il semaforo ha un intervallo di 20 secondi per il verde e di 40 secondi per il rosso, quindi a ciclo fisso con una durata di 60 secondi. Nei 20 secondi di verde, immaginiamo che possano passare 10 auto. Se ogni 60 secondi passano meno di 10 auto, il traffico scorre normalmente. Ma cosa succede quando nei 60 secondi arrivano 11 auto? Di queste ne passeranno soltanto dieci e una rimarrà bloccata. Nel minuto successivo le macchine che non riescono a passare saranno 2, e la coda continuerà ad aumenta ad ogni ciclo del semaforo. Dopo trenta minuti ci saranno 30 auto in coda. Il traffico andrà in tilt quando la coda crescerà fino a raggiungere il semaforo precedente della stessa via, impedendo così alle auto in attesa a quel semaforo di passare. Si creerà un ingorgo impossibile, crescerà il nervosismo degli automobilisti bloccati, con imprecazioni e insulti che naturalmente complicheranno ancor più la situazione. E non è un problema da poco, visto che in Italia, chi vive nelle città con più di 500.000 abitanti, perde mediamente 177 ore ogni anno, a causa del traffico.
Naturalmente, la matematica può fare molto di più: se non riesce a risolvere una volta per tutte il problema delle code, fornisce comunque i dati per prendere le decisioni migliori. Siméon-Denis Poisson (1781-1840) è il matematico e fisico francese che ha svolto studi fondamentali in diversi campi e nel calcolo delle probabilità. In particolare, un suo libro sulle statistiche giudiziarie è considerato all'origine della teoria delle code. Poisson presenta una formula che è diventata preziosa. Eccola:
dove Pm è la
variabile casuale poissoniana che indica la probabilità
che un dato evento si verifichi m volte.
Pensiamo a una partita del campionato di
calcio: per sapere quanti goal potranno essere segnati nel corso della
partita, è sufficiente applicare la formula sostituendo ad a
il numero medio di goal segnati negli incontri precedenti tra le due
squadre e a m i goal che si possono prevedere per la partita
attuale. Così, con a=2, cioè se la media dei goal delle
partite precedenti fosse 2, e con m=1, nella previsione di un solo goal
nella partita, ricaveremmo dalla formula Pm=0,271: la probabilità
di vedere un goal nella partita è circa di 3 su 10, mentre scende
a 0,180 (circa due su 10) la probabilità di tre goal e quella
di averne sei scende a 0,017.
E’ quanto intuì Agner Krarup
Erlang (1878-1929), un ingegnere danese che, a fine Ottocento, partendo
dagli studi di Poisson, elaborò un modello matematico delle telecomunicazioni
allo scopo di fissare le dimensioni delle reti telefoniche ai costi
più bassi. Per i suoi risultati straordinari Erlang viene considerato
il fondatore della teoria delle code e, in suo omaggio, l'unità
di misura del traffico telefonico è stata battezzata Erlang.
Federico Peiretti PER SAPERNE DI PIU’ Per chi è debole in matematica: R. Larson e A. Odoni., Urban Operations
Research, Prentice-Hall, 1981. Disponibile in rete: Il primo libro delle Leggi di Murphy
di Arthur Bloch: Una presentazione matematica della Teoria
delle code, Teoria delle probabilità e delle code, di Ludovica
Adacher: Dalla Wikipedia: Introduzione alla teoria delle code,
di Robert Cooper (sono 361 pagine): |
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Vediamo
un’altra situazione. Siamo in autostrada, in un momento di gran
traffico, con una fila di auto che sta viaggiando ai 100 km/h, la prima
auto della fila incontra un veicolo che viaggia ai 90 km/h ed è
costretta a rallentare per mantenere la distanza di sicurezza. L’auto
che la segue, a sua volta rallenta, ma non più rispetto all’auto
che viaggiava ai 90 km/h, ma rispetto all’auto che la precede
e quindi a una velocità ancora più bassa. E il rallentamento
si propaga progressivamente di auto in auto, fino a fermare il traffico,
che riparte poi, superato il rallentamento, con una nuova accelerazione
progressiva, finché tutte le auto viaggiano alla fine ai 100
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