Matematica ed epidemie

 

Moritz von Schwind, Il suonatore e l’eremita, 1846

 

"Epidemia  all'isola  degli  eremiti" è  un  esempio  di  modello matematico per lo studio delle epidemie, ad uso didattico, in una situazione  molto semplificata, ma di grande efficacia, a dimostrazione proprio del ruolo fondamentale della matematica nell’analisi di una qualsiasi situazione reale.

E'  stato elaborato  dall'Office  for Mathematics, Science  and  Technology Education  della  University  of Illinois  a  Urbana  Champaign, riprendendo  un problema da Using Statistics di  Travers,  Stout, Swift e Sextro.

Hieronymus Bosch, La tentazione di Sant’Antonio l’Eremita

L'ambiente  è una piccola isola sulla quale vivono  soltanto  sei eremiti. Una malattia infettiva colpisce l'isola. E' una malattia che  ha  un  periodo di infettività di un giorno,  dopo  il  quale  la persona è immunizzata.

Facciamo  l'ipotesi  che un eremita contragga la malattia e  che vada  a  visitare  un altro qualsiasi degli  eremiti  durante  il suo periodo  di infettività.  Se  l'eremita che riceve la  visita  non  ha ancora  contratto la malattia (e quindi non è immune), ne resta colpito e a sua volta,  il giorno dopo, risulta portatore dell'infezione. Il secondo eremita va  poi  a  trovare un altro eremita. La  malattia  si  diffonde finché  un  eremita  infettivo  non  va  a  visitare  un  eremita immunizzato, nel qual caso la malattia si estingue. Facciamo l’ipotesi che ogni giorno ci sia soltanto la visita di un eremita. In questo caso, quanti  eremiti,  in media, si può presumere che  contraggano  la malattia, prima che questa si estingua?

1. Qual  il numero minimo di eremiti che si possono ammalare?

2. Qual  il numero massimo di eremiti che si possono ammalare?

3. Quale tipo di modello possiamo usare per questo problema?

4. Come possiamo risolvere questo problema analiticamente?

5.  Se si cambia il numero di eremiti presenti sull'isola,  quali cambiamenti possiamo osservare nel numero di eremiti infetti?

Il modello dell'eremita.

1. Ognuna delle sei facce di un dado può rappresentare un eremita.

2. Gettiamo il dado per vedere quale eremita contrae la malattia.

3. Gettiamo  nuovamente il dado per vedere quale  eremita  verrà visitato, contraendo la malattia.

4.  Continuiamo  a  gettare il dado finché non  esce  un  eremita immunizzato, cioè un numero già uscito prima, che blocca la diffusione della malattia.

Nota: se esce lo stesso numero due volte di seguito, si ignora  il secondo numero, poiché un eremita non può visitare  se stesso.

5.  A  questo  punto, contiamo il totale dei  numeri  differenti usciti, cioè quanti eremiti hanno contratto la malattia.

6. Ripetiamo l'esperimento  4 o 5 volte.

7. Facciamo la media del numero di eremiti che hanno contratto la malattia ad ogni esperimento.

Ci sono altri modelli possibili per questo problema?

Com'è  possibile costruire un modello per un'isola di 4  eremiti? di 10 eremiti? di 52 eremiti?

Possiamo trovare un programma da inserire sul computer?

Dopo  aver  fatto  qualche esperimento  passiamo  alla  soluzione analitica del problema.

Soluzione analitica.

Per  risolvere  analiticamente il problema  dobbiamo  trovare  la probabilità di infezione per tutti i casi possibili, con un numero diverso di eremiti colpiti dall'infezione. Ci saranno almeno  due infettati e al massimo sei.

Vediamo separatamente i diversi casi.

numero di eremiti infettati

 

spiegazione

 

probabilità

 

0

Non è un caso possibile, perché si presuppone che ci sia almeno un eremita malato per la diffusione della malattia

 

0

1

Neanche questo è un caso possibile, poiché si presuppone che ci sia un eremita malato che vada a visitare un altro eremita che a sua volta si ammali.

 

0

2

Quando il secondo eremita ha ricevuto la visita, questi a sua volta può visitare cinque eremiti (uno dei quali è immunizzato). Se egli visita l’eremita immunizzato si blocca l’epidemia e ci saranno stati soltanto due casi di malattia.

 

1/5 = 0,2000

 

3

Perché ci siano tre eremiti infettati, è necessario che il secondo eremita sia stato in visita da uno dei quattro non immunizzati. Successivamente il terzo eremita deve visitare un altro eremita (due dei quali sono immunizzati). Se egli visita uno dei due eremiti immunizzati, allora ci saranno soltanto tre infettati.

 

 

4/5 x 2/5 = 8/25 = 0,3200

 4

 

Perché ci siano quattro eremiti infettati, il secondo eremita deve visitare uno dei quattro non immunizzati. Successivamente il terzo eremita deve visitare uno dei tre restanti eremiti non immunizzati. E quest’ultimo deve visitare uno dei tre già immunizzati.

 

 

4/5x3/5x3/5 = 36/125 = 0,2880

5

 

Perché ci siano cinque eremiti infettati, il secondo eremita deve visitare uno dei quattro non immunizzati. Successivamente il terzo eremita deve visitare uno dei tre eremiti non immunizzati e il quarto eremita uno dei due non ancora immunizzati. Infine il quinto eremita deve visitare uno dei quattro immunizzati

 

 

4/5x3/5x2/5x4/5 = 96/625 = 0,1536

 

6

Perché si ammalino tutti gli eremiti, il secondo deve visitare uno dei quattro non immunizzati, il terzo uno dei tre non immunizzati, il quarto uno dei due non immunizzati e il quinto deve visitare l’ultimo eremita rimasto non immunizzato.

 

4/5x3/5x2/5x1/5 = 24/625 = 0,0384

Noi sappiamo che l'insieme di tutti i casi possibili dev'essere uguale a 1.

Infatti la probabilità totale è:

0 + 0 + 1/5 + 8/25 + 36/125 + 96/625 + 24/625 = 1

Ora possiamo trovare quello che si chiama  il valore atteso oppure anche la speranza matematica di x, E(x):

E(x) = 0 x 0 + 1x0 + 2 x 1/5 + 3 x 8/25 + 4 x 36/125 +

5 x 96/625 + 6 x 24/625 = 3,5104

Sappiamo così che dagli esperimenti fatti con il nostro  modello, dovremo ottenere come risposta un numero vicino a 3,5104.

Qual  il valore atteso del problema con 4 eremiti, e con 7?

Quale precisione hanno le risposte ottenute con il nostro modello?

Vediamo la spiegazione dei vari casi esposti nella soluzione analitica del problema.

Ogni cerchio rappresenta un eremita, il cerchio rosso un eremita colpito dalla malattia, il cerchio nero un eremita visitato due volte (sul quale quindi finisce l’epidemia) e le linee nere indicano la visita di un eremita a un altro. Le visite sono naturalmente sempre casuali.

Zero eremiti infettati

Nessun eremita è colpito dalla malattia

Ci sono 0 probabilità che nessun eremita risulti infettato, perché il problema dice: “Facciamo  l'ipotesi  che un eremita contragga la malattia...

 

Un eremita infettato

L’eremita 3 contrae la malattia

Visita un altro eremita, il 5, che non può  essere immune.

   
L’eremita 5 quindi si ammala  
 

E’ impossibile che solo un eremita si ammali, poiché il problema prevede che l’eremita malato “vada  a  visitare  un altro qualsiasi degli  eremiti  durante  il suo periodo  infettivo.

Due eremiti infettati

L’eremita 3 contrae la malattia

Visita un altro eremita, il 5, che non può  essere immune.

   
L’eremita 5 quindi si ammala

L’eremita 5 visita l’eremita 3  ma questo è immune e quindi la  malattia si ferma.

Quando il secondo eremita contrae la malattia, visita un altro eremita. Oltre a se stesso ci sono altri 5 eremiti, uno solo dei quali è immune. Se egli visita questo eremita immune (probabilità = 1/5) la malattia finisce con due soli eremiti infettati.

Probabilità che si ammalino soltanto 2 eremiti = Probabilità che il secondo eremita visita l’unico eremita immunizzato = 1/5 = 0,2000

Tre eremiti infettati

L’eremita 3 contrae la malattia

Visita un altro eremita, il 5, che non può  essere immune.

   
L’eremita 5 quindi si ammala

L’eremita 5 visita un eremita, il 2,  non immunizzato

   
L’eremita 2 quindi si ammala

L’eremita 2 visita infine un eremita immunizzato e la malattia finisce.

Quando il secondo eremita contrae la malattia, visita un altro eremita. Oltre a se stesso ci sono altri 5 eremiti, uno solo dei quali è immune. Se egli NON deve visitare l’eremita immune (probabilità = 4/5) la malattia passa a un terzo eremita il quale a sua volta visita un altro eremita. Se egli visita uno dei due immunizzati (probabilità = 2/5) la malattia finisce.

Probabilità che si ammalino 3 eremiti = (Probabilità che il secondo eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il terzo eremita visiti un eremita immunizzato) = 4/5 x 2/5 = 8/25 = 0,3200

Quattro eremiti infettati

L’eremita 3 contrae la malattia

Visita un altro eremita, il 5, che non può  essere immune.

   
L’eremita 5 quindi si ammala

L’eremita 5 visita un eremita, il 2,  non immunizzato

   
L’eremita 2 quindi si ammala

L’eremita 2 visita infine un eremita non  immunizzato, ad esempio 1

   
L’eremita 1 quindi si ammala

L’eremita 1 visita infine uno degli eremiti immunizzati e la malattia si ferma.

Quando il secondo eremita contrae la malattia, visita un altro eremita. Oltre a se stesso ci sono altri 5 eremiti, uno solo dei quali è immune. Se egli NON deve visitare l’eremita immune (probabilità = 4/5) la malattia passa a un terzo eremita il quale a sua volta visita un altro eremita. Se egli visita uno dei tre NON immunizzati (probabilità = 3/5) la malattia passa ad un quarto eremita e se quest’ultimo visita uno dei 3 eremiti immunizzati la malattia si ferma.

Probabilità che si ammalino 4 eremiti = (Probabilità che il secondo eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il terzo eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il quarto eremita visiti un eremita immunizzato) = 4/5 x 3/5 x 3/5 = 36/125 = 0,2880

Cinque eremiti infettati

L’eremita 3 contrae la malattia

Visita un altro eremita, il 5, che non può  essere immune.

   
L’eremita 5 quindi si ammala

L’eremita 5 visita un eremita, il 2,  non immunizzato

   
L’eremita 2 quindi si ammala

L’eremita 2 visita infine un eremita non  immunizzato, ad esempio 1

   
L’eremita 1 quindi si ammala

L’eremita 1 visita l’eremita 6 non immunizzato

   
L’eremita 6 si ammala

Il 6 visita uno eremita immunizzato e la malattia si ferma.

Quando il secondo eremita contrae la malattia, visita un altro eremita. Oltre a se stesso ci sono altri 5 eremiti, uno solo dei quali è immune. Se egli NON deve visitare l’eremita immune (probabilità = 4/5) la malattia passa a un terzo eremita il quale a sua volta visita un altro eremita. Se egli visita uno dei tre NON immunizzati (probabilità = 3/5) la malattia passa ad un quarto eremita che visita uno dei 2 eremiti non immunizzati e la malattia passa a un quinto eremita il quale visita infine un eremita immunizzato fermando l’epidemia.

Probabilità che si ammalino 5 eremiti = (Probabilità che il secondo eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il terzo eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il quarto eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il quinto eremita visiti un eremita immunizzato)= 4/5 x 3/5 x 2/5 x 4/5 = 96/625 = 0,1536

Sei eremiti infettati

L’eremita 3 contrae la malattia

Visita un altro eremita, il 5, che non può  essere immune.

   
L’eremita 5 quindi si ammala

L’eremita 5 visita un eremita, il 2,  non immunizzato

   
L’eremita 2 quindi si ammala

L’eremita 2 visita infine un eremita non  immunizzato, ad esempio 1

   
L’eremita 1 quindi si ammala

L’eremita 1 visita l’eremita 6 non immunizzato

   
L’eremita 6 si ammala

6 visita 4 non immunizzato

   
L’eremita 4 si ammala

Tutti gli eremiti che 4 può visitare sono immunizzati e l’epidemia si ferma

Il secondo eremita si ammala. Uno solo dei 5 eremiti è immune. Se egli NON visita quello immune, si ammala un terzo eremita. Il terzo visita uno dei tre eremiti NON immunizzati e la malattia passa ad un quarto che visita uno dei due NON immunizzati e si ammala un quinto eremita. Se quest’ultimo visita l’unico NON immunizzato si ammala anche al sesto. A questo punto non ci sono più eremiti da infettare e l’epidemia termina.

Probabilità che si ammalino 6 eremiti = (Probabilità che il secondo eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il terzo eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il quarto eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il quinto eremita visiti un eremita non immunizzato) X (Probabilità che il sesto eremita visiti un eremita immunizzato) = 4/5 x 3/5 x 2/5 x 1/5 x 5/5 = 24/625 = 0,0384.

Diego Velázquez Sant’Antonio Abate e San Paolo l’Eremita, c. 1635-38