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1.3 IL MODELLO DIVINO, LA QUADRATURA DEL CERCHIO E IL .

 

La vera opera d’arte risulta dall’accordo di quei certi elementi che formano una divina simmetria.
  [ Leonardo da Vinci ]
. .…………….tanto ch’i’ giunsi
L’aspetto mio col valore infinito
[ Par XXXIII, 80-81 ]

Dante, per grazia ricevuta dalla Vergine, contempla la misteriosa essenza divina; la terminologia che usa per simboleggiarla si rifà alla parola “ valore ” e all’aggettivo “ infinito “; traguardando l’immagine simbolica (1), si può intravedere il concetto che Dio è il solo a conoscere il significato matematico dell’infinito. Nei versi poi :

Nella profonda e chiara sussistenza
Dell’alto lume parvemi tre giri
[ Par XXXIII, 115-116 ]

vede Dio uno e trino come l’archetipo dell’armonia geometrica dell’universo espressa dal punto (alto lume) indivisibile e dal cerchio perfetto (parvemi mi apparve è singolare, tre giri è plurale) che si tripartisce.
Ma ancor più troviamo la divinità geometrizzata nei versi [ Par XXXIII, 133-138 ] in cui Dante ci racconta di come abbia scorto, senza penetrarlo, il mistero dell’incarnazione, accennando al problema della quadratura del cerchio.
Prendiamo in esame ora il numero dei versi che procedono dall’invocazione “ O luce……” ; sono gli ultimi 22 versi del poema: 7 terzine + 1 verso.
E’ suggestivo osservare come in questi pare adombrato il “ mistero geometrico “ della quadratura del cerchio.
Se consideriamo come unità di scala poetica il 7, numero delle terzine, la misura dell’estensione dei 22 versi vale 22/7 = 3 + 1/7 , con una ripartizione degli stessi riconoscibile in base ai significati dei termini che in modo diretto richiamano la questione geometrica
( come si cercherà di rendere visibile nella figura di seguito ).

Il valore 22/7 ovviamente non è casuale, dal momento che i matematici medioevali usavano per il proprio questo valore approssimato per eccesso.
Euclide ( Elementi, XII, 2 ) aveva dimostrato il teorema della proporzionalità tra i cerchi e i quadrati dei diametri senza accennare in alcun modo ad una determinazione del relativo rapporto costante legato al noto p, e questo perché gli Elementi, per il loro carattere prettamente teorico, non danno vere e proprie regole di misura anche se ne forniscono i presupposti. Nella dimostrazione della proposizione “ I cerchi stanno fra loro come i quadrati dei diametri (dei cerchi)” entra in gioco l’infinito se viene riguardata, come suggerisce Gerolamo Saccheri (2), come una estensione del teorema precedente (XII, 1 : poligoni simili inscritti in cerchi stanno fra loro come i quadrati dei diametri.); Euclide imbriglia l’infinito, mascherandolo ma non eliminandolo dal percorso dimostrativo, ricorrendo, per la prima volta applicato negli Elementi, al metodo di esaustione di Eudosso da Cnido.
L’infinitesimo del punto e l’infinito, già presente nella definizione di proporzione ( V def. V ),e nuovamente implicata nella XII, 2, fanno dire a Dante nel Convivio ( Trattato II, capitolo XIV (3)):
La geometria si muove intra due repugnanti ad essa; siccome tra ‘l punto e ‘l cerchio; ché, siccome dice Euclide, il punto è principio di quella (della geometria), e, secondo ch’e’ dice, il cerchio è perfettissima figura in quella, che conviene però aver ragione di fine; sicché tra ‘l punto e ‘l cerchio, siccome tra principio e fine, si muove la geometria. E queste due alla sua certezza repugnano; ché ‘l punto per la sua indivisibilità è immisurabile, e ‘l cerchio per lo suo arco è impossibile a quadrare perfettamente( e qui dobbiamo sottintendere “ con riga e compasso “ ), e però è impossibile a misurare appunto ( I tre problemi dell’antichità, ovvero la trisezione dell’angolo, la duplicazione del cubo e la quadratura del cerchio sono stati risolti dai matematici greci (4), ma le soluzioni ricavate, anche se corrette, non sono state ottenute con riga e compasso ).
Fu Archimede, nel suo “ De mensura circoli “ ( letteralmente: per misurar lo cerchio ) a prefiggersi lo scopo di trovare una buona approssimazione del , migliore di quelle già note, ed ottenne : 3 + 10/71 < p < 3 + 1/7 ; un valore del quindi molto vicino a 22/7, che verrà poi comunemente usato attraverso i secoli, fino alla introduzione della scrittura delle frazioni sotto forma di numero decimale.

Ed è nel mediano di quei tre giri di tre differenti colori ( attributi delle tre persone divine ) e d’una continenza ( cioè di uguale grandezza per significarne l’identità ) che si presenta a Dante, impenetrabile come il mistero geometrico, la natura e l’immagine del Dio-Uomo: come poteva essere insieme cerchio e uomo? Come si poteva spiegare il misterioso coesistere di due figure così diverse? E’ qui che Dante paragona il suo sforzo di penetrare il mistero di “come si convenne l’imago al cerchio e come vi s’indova ( come possa l’immagine Dio-Uomo convenire, stare insieme al cerchio e trovarvi luogo)” a quello del geometra che, per quanto intensamente concentrato, non trova la soluzione al problema della quadratura del cerchio.
Prendiamo in esame, in base alla chiave di lettura suggerita, i 22 versi dell’invocazione:

[ Par XXXIII, 124 – 145 ]

Sembra che Dante, con quest’ultima grande similitudine del poema, nell’implicita coincidenza tra la perfezione del Creatore e l’armonia geometrica della sua creatura, abbia voluto affermare che solo Dio possiede la conoscenza della soluzione del problema della quadratura del cerchio e dell’indivisibilità del punto, insieme alla conoscenza dell’infinito, che si pone allo spazio dell’uomo come la divina eternità si pone al tempo.

Si può sostenere la tesi che l’intera architettura del poema sia stata concepita in relazione al “ valore “ del ?

A favore di questa tesi si possono riportare le seguenti osservazioni:

Dante nella commedia cita due proposizioni dagli Elementi di Euclide. Una prima volta quando San Tommaso parla a Dante della sapienza del re Salomone al quale, secondo il racconto biblico (III, Re, 5 sgg) Dio apparve in sogno e lo invitò a chiedere quello che volesse; Salomone rispose “ Darai al tuo re docile cuore così che possa discernere il bene dal male e seder giudice tra il suo popolo..”. Non chiese di conoscere la soluzione metafisica del “.., si est dare primum motum esse (5)“[ Par, XIII, 100] o quella geometrica, ed ecco la citazione di Euclide, del “..se del mezzo cerchio far si puote / TRIANGOL si ch’un retto non avesse ” [ Par, XIII, 102]. E’ la proposizione 31 del libro terzo degli Elementi: “In un cerchio l’angolo [alla circonferenza inscritto] nel semicerchio è retto…

Una seconda volta Euclide è citato nel canto di Cacciaguida (Par, XVII, 15), in cui Dante si rivolge al trisavolo pregandolo, sapendo come questi possa trarre la conoscenza da Dio, di svelargli in cosa consistano le oscure profezie dei mali a lui preannunciati nell’Inferno e nel Purgatorio:

O cara pilota[ capostipite ] mia, che sì t’insusi [ così in alto ti levi ]
Che, come veggion le terrene menti
Non capere in TRIANGOL due ottusi,
Così vedi le cose contingenti
Anzi che sieno in sé, mirando il punto
[ Dio ]
A cui tutti li tempi son presenti;
Elementi, Libro I, Proposizione 32 : “ In ogni
triangolo.. la somma dei tre angoli interni di un
triangolo è uguale a due retti

Prendiamo in esame le due ricorrenze della parola TRIANGOL nei versi del Paradiso :

Si può constatare che 2311 è l’intero più vicino alla media geometrica tra 2943 e 1815:
2943 : 2311 2311 : 1815 , 1815 + 2943 = 4758
come dire ( Elementi, corollario proposizione 8, libro VI ): in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa 2311 1815 è media proporzionale fra le parti nelle quali essa la divide; o in altro modo, tenendo conto dei numeri dei versi: in un 2943 2311 triangolo rettangolo inscritto in una semicirconferenza il cui diametro valga 4758, se le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa valgono 2943 e 1815, la sua altezza vale 2311.
In particolare poi si può osservare che, se consideriamo un semicerchio di diametro 2943, la lunghezza dell’arco del quadrante del cerchio vale 2311, e se poi si prende questo valore come diametro di un nuovo cerchio, la lunghezza dell’arco del quadrante di quest’ultimo varrà proprio 1815, il tutto calcolato in base alle approssimazioni di Archimede del .

 

Vediamolo brevemente:

 

Cerchio di diametro 2943: lunghezza arco del quadrante con =223/71 2943* /4 = 2310,87..
 

lunghezza arco del quadrante con =22 /7 2943* /4 = 2312,35..

 

con 223/71 < < 22 /7 2310,87…< 2311 < 2312,35…

Cerchio di diametro 2311:

lunghezza arco del quadrante con =223/71 2311* /4 = 1814,62..

 

lunghezza arco del quadrante con = 22 /7 2311* /4 = 1815,78..

 

con 223/71 < < 22 /7 1814,62…< 1815 < 1815,78…

Il riferimento al e alla quadratura del cerchio si direbbe proprio intenzionale.

Cerchiamo altre conferme:

Euclide GEOMETRA compare a Dante nel suo viaggio (Inf. IV, 142) insieme ad altri saggi; siamo nel cerchio del Limbo, dove , in una sua parte illuminata da un fuoco che ne vince le tenebre, dimorano coloro che in terra acquistarono onorata fama. Dante e Virgilio vengono accolti da Omero, sovrano dei poeti; Ovidio, Orazio Lucano e la bella scuola dei poeti si stringe intorno al maestro “...dell’altissimo canto, / che sovra gli altri com’aquila vola“ (Inf. IV, 95-96), e Dante, alzando lo sguardo intorno, vede

..il maestro di color che sanno ( Aristotele )
Seder tra filosofica famiglia,
Tutti lo miran, tutti onor gli fanno:
Quivi vid’io Socrate e Platone,
Che innanzi agli altri più presso gli stanno;
Democrito, che il mondo a caso pone,
Diogenès, Anassagora e Talete,
Empedoclès, Eraclito e Zenone;
E vidi il buon accoglitor del ‘quale’ ,
(medico che trattò le qualità dei medicinali)
Dïoscoride dico, e vidi Orfeo,
( personaggio del mito, poeta e musico )
Tullio
( Cicerone ) e Lino ( mitico poeta e musico ) e Seneca morale,
( verso 142 del canto) Euclide GEOMETRA e Tolomeo, ( verso 556 della Commedia )
Ippocrate, Avicenna e Galïeno,
Averroìs
( medici )……………

La parola GEOMETRA ritorna poi, come abbiamo già visto, al verso ( Par, XXXIII, 133 ) 14221 della Commedia.
Dalla prima ricorrenza della parola GEOMETRA (verso 556 della Commedia ) all’inizio del Paradiso, contiamo 8920 versi, e dalla fine dell’Inferno alla seconda ricorrenza della parola geometra contiamo 9501 versi.
Esprimiamo ora il rapporto tra il perimetro relativo alla figura del semicerchio di diametro 2r chiusa dal diametro usando il valore 22/7 come , e il perimetro del triangolo isoscele inscritto nello stesso semicerchio usando il valore 99/70 come :
il rapporto diventa ( r + 2r )/( 2r + 2r) = ( /2 + 1 ) / ( + 1 )=

= ( 11 /7 + 1 ) / ( 99/70 + 1 ) = 180/169 = 1,06508…( circa 1 ) con l’intero più vicino = 1.

Se associamo il valore 9501 al diametro del semicerchio e 8920 al triangolo isoscele inscritto otteniamo, dal loro rapporto, il valore numerico 9501 / 8920 = 1,06513… che ripete proprio il dato ricavato in precedenza. Si potrebbe riconoscere in questa coincidenza la deliberata intenzione da parte di Dante di collocare esattamente in quei versi la parola GEOMETRA, in modo da onorare contemporaneamente le due essenze fondamentali della geometria e della Perimetro Perimetro divinità, l’uno, associato al punto, indivisibile 9501 v2r 8920 principio creatore e il cerchio, la perfezione, con la presenza del nel calcolo della quadratura.

Analizziamo ora un’altra circostanza:
proviamo ad associare la disposizione della parola GEOMETRA al verso 556 della Commedia alla disposizione della parola TRIANGOL al verso 11290 del poema:

Da … Euclide GEOMETRA e Tolomeo alla fine dell’Inferno

Consideriamo ora una circonferenza di diametro 2r; il quadrato circoscritto avrà lato 2r e la circonferenza circoscritta a questo quadrato avrà diametro r : il rapporto tra le lunghezze delle due circonferenze vale dunque ; anche il quadrato circoscritto a questa nuova circonferenza avrà un perimetro volte quello del precedente. Si può dire allora che la ( diagonale/lato del quadrato diametro/lato del quadrato inscritto ) che caratterizza la “tensione” del quadrato al cerchio circoscritto, è lo stesso valore che li fa corrispondere in una successione di cerchi e quadrati alternativamente circoscritti l’uno all’altro, in modo da definire una progressione geometrica tra questi successivi cerchi e quadrati dove la ragione è precisamente la . Ed è quanto accade per i numeri di disposizione dei versi sopra indicati : se un cerchio circoscritto a un quadrato ha una circonferenza pari a 4164, il quadrato ha il perimetro pari a 2944 ( o viceversa ); la polivalenza dei versi può essere riconosciuta proprio in questa coincidenza, nell’intenzione cioè, da parte di Dante, di voler delineare l’asse del poema in base al cerchio e al quadrato, e qui, potremmo dire, attraverso l’aspirazione, in una successione infinita, del quadrato alla perfezione del cerchio.


Vediamo ancora un altro esempio:

Un’ulteriore disposizione di versi che si può legare ad una immagine QUADRANTERAGGIO la troviamo nelle terzine [Pur, IV, 40-42 ] in cui Dante racconta la faticosa salita, a carponi, lungo la stretta e ripidissima strada del monte del Purgatorio, del quale

Lo sommo er’alto che vincea la vista,
E la costa superba più assai
Che da mezzo QUADRANTE a centro LISTA

5167°verso dall’inizio del poema

la cima era talmente alta che la vista non poteva raggiungerla, e la pendenza tale da essere molto più ripida di quella della lista che unisce il centro [ di un cerchio ] alla metà dell’arco di un quadrante [ la lista corrisponde quindi al raggio del cerchio inclinato di 45° ].
Attribuiamo all’arco del quadrante una lunghezza pari a 14233, quanti sono i versi della Commedia; si può calcolare che la parola quadrante, lì posta, dista dalla fine della Commedia un numero di versi pari a 14233 – 5167 = 9057 : è questa la misura del raggio ( la lista ), appunto pari a 9057, del nostro arco di quadrante. Ecco il calcolo con = 223/71 :

Lunghezza quadrante = ¼ di circonferenza = ¼ * 2 r =( ½ )* ( 223/71 )* 9057 =14233,31…

con l’intero più vicino pari a 14233 !

Ancora un’ immagine QUADRANTECERCHIO.
Dante, rivolgendo gli occhi a Beatrice, ne resta abbagliato e, quando può riprendere la vista, si vede traslato nel cielo di MARTE; in questo cielo gli spiriti che hanno versato il loro sangue per la fede appaiono a Dante collocati nel profondo del pianeta, raggianti come stelle e disposti in forma di croce, dalla quale balena l’immagine di Cristo:

[ Par, XIV, 100 ]“ Si costellati facean nel profondo
Marte quei rai il venerabil segno [ verso 11431 ]
Che fan giunture di quadrati in tondo
.”[ verso 11432 ]

Quei raggi, così disposti come una costellazione ( la croce del sud ? ), disegnavano nel profondo di Marte quel segno venerabile ( la croce ) che si crea in un cerchio ( in tondo ) unendo gli estremi ( giunture ) dei suoi quadranti.

E’ poi al verso 13215 che ritroviamo, con il significato di QUADRANTE, la parola QUADRA:
siamo nel cielo delle stelle fisse dove Adamo dice a Dante di aver vissuto 930 anni e di aver atteso nel Limbo 4302 anni prima di veder realizzato il suo desiderio di potersi unire alla schiera dei beati; la colpa del peccato originale, riscattata con il sacrificio della crocifissione di Cristo, risale a 1266 anni prima dell’anno del viaggio ultraterreno di Dante. Da questi dati si ricava l’età del mondo, pari a ( 4302+ 930+1266 = ) 6498 anni; la durata della permanenza di Adamo nel Paradiso terrestre non influisce sul calcolo dal momento che si tratta soltanto di poche ore del giorno della sua creazione. E’ Adamo che parla:

[ Par, XXVI, 139 ] “ Nel monte che si leva più dall’onde,
Fu’ io con vita pura e disonesta,
Dalla prim’ora a quella che seconda,
Come ‘l sol muta quadra, l’ora sesta
” [ verso 13215 ]

In quella parte del monte del Purgatorio che più alto sorge sopra la riva del mare ( è il Paradiso Terrestre ), io trascorsi la mia vita pura ( prima del peccato ) e quella disonesta
( dopo averlo commesso ) dalla prima ora ( nella quale venni creato ) a quella che di sei ore la segue dopo che il sole muta quadrante; il sole muta quadrante in un dato luogo superandone a mezzogiorno il meridiano ed entrando così nel quadrante occidentale. Vale a dire che Adamo rimase nel Paradiso terrestre fino all’una dopo mezzogiorno e che venne quindi creato alle sei del mattino.

Ecco quindi tornare in modo esplicito il riferimento al cerchio e ai suoi quadranti al verso 13215, posto 1783 versi dopo le parole QUADRANTI e TONDO del verso 11432; i RAGGI poi che fan giuntura di quadranti in tondo sono al verso 11431, che precede di 2802 versi l’ultimo della Commedia

Con il = 22/7 otteniamo infatti: 1783* /2 = 2801,85.. con l’intero più vicino = 2802.

Vediamo quali altri passi ancora, in base alla disposizione dei versi, si rifanno al :

Le conferme della presenza del e della quadratura del cerchio lungo tutto l’asse della Commedia non si esauriscono qui; la curiosità poetica e matematica può servire da stimolo per proseguire la ricerca sulla base dei procedimenti esposti……e, a questo punto, sembra quasi lecito ammettere che se non è del poeta l’anima geometrica, allora deve essere del l’anima poetica.

Un pensiero sul
Si legge nel romanzo di Denis Guedj “ Il teorema del pappagallo “:
« Se fosse stato uguale a 22/7 non ci sarebbe stato bisogno di assegnargli un nome a parte e di chiamarlo appunto ; lo avremmo chiamato 22/7 come tutti, e (con riga e compasso!) la quadratura del cerchio sarebbe stata possibile [...] E la matematica sarebbe stata più triste. ››
Il simbolo venne infatti usato per la prima volta nel 1706, conquistando in breve tempo grande diffusione e notorietà. Invero il suo inventore, William Jones, non ha raggiunto ugual fama, forse perché l’aver battezzato con il pi greco il rapporto tra diametro e circonferenza non comportò il riconoscimento di grande inventiva o di originalità, nonostante la scelta sia stata felice, o forse solo perché venne considerato come un fatto più simbolico che matematico.
Il termine circonferenza trae infatti origine dalla parola tardo-latina CIRCUMFERENTIA, derivata da CICUMFERRE, composto da CIRCUM ( avverbio = intorno, in giro ) e da FERRE ( = portare ), con il significato di portare intorno, portare in giro ( circumfero = porto intorno, porto in giro ). Il termine è un calco della parola greca , che significa appunto porto intorno, porto al punto di partenza, circoscrivo, parola dalla quale deriva PERIFERIA e perimetro misura della periferia.
Nel caso della parola circonferenza il calco è parziale : ( diventa = circum )
( resta = fero ).
Ora è chiaro che la misura della circonferenza è quella di un Perimetro che dipende dalla misura del diametro; la lettera greca (7), iniziale del termine Perimetro, spiega il motivo della sua scelta come lettera-simbolo “adatta” ad esprimere il rapporto tra diametro e circonferenza, un numero che già da millenni si stava cercando prima che ricevesse questo nuovo battesimo.
Del , che per un così lungo tempo aveva simboleggiato l’aspirazione alla perfezione del cerchio, si era imposta quell’aura di numero misterioso e sfuggente. Il sospetto che potesse essere un numero irrazionale, noto il precedente dell’incommensurabilità tra lato e diagonale del quadrato, doveva aleggiare nelle menti dei geometri e dei matematici del tempo; da Pitagora in poi si erano ormai abituati all’irrazionale, a quei numeri “fuori natura”, e la congettura che altrettanto potesse verificarsi tra diametro e perimetro del cerchio doveva sorgere quasi spontanea.
L’aspetto pratico e provvisorio assegnatogli di numero razionale, assumeva comunque su di sé la veste misteriosa di entità di tramite tra i vari elementi geometrici e il cerchio, di tutti il più perfetto e simbolo della creazione divina. Alla geometria, così potente da risolvere semplicemente la e gli altri numeri irrazionali, venne affidato il compito di risolvere anche il ; il problema della quadratura del cerchio con riga e compasso si prefiggeva così il compito di afferrare quella natura numerica indeterminata e imprecisabile che la rendeva affascinante e a lungo ricercata, in quanto ritenuta forse raggiungibile. Il di oggi, meno misterioso pur nella sua inaccessibilità, ha perduto un po’ del suo fascino. Resta la nostalgia per la ricerca del suo mistero, paradossalmente e definitivamente affermato e svelato dalla matematica, insieme ad una malcelata frustrazione che trova sfogo nell’affanno tecnologico dei computer, nel gioco della sfida al ” chi più ne ha più ne metta”, che pur esasperandone i decimali in numero sempre maggiore, nulla può aggiungere all’infinita trascendenza del .


(1) Con la parola valore che assume significato matematico. (up)

(2) Gerolamo Saccheri (1667 – 1733) in “Euclides ab omni naevo vindicatus”. (up)

(3) In cui Dante tratta delle sette scienze del trivio (grammatica, retorica e dialettica) e del quadrivio (aritmetica, musica, geometria e astronomia). (up)

(4) Ippia di Elide (Peloponneso-contemporaneo di Socrate) inventò una curva, detta quadratrice, non però costruibile con riga e compasso, con la quale si ottiene la trisezione dell’angolo. Menecmo (IV sec. a.C.), allievo di Eudosso, scoprì le coniche e, tramite queste, propose una soluzione al problema della duplicazione del cubo; da suo fratello Dinostrato ( e non solo da lui ) fu risolto il problema della quadratura del cerchio, ma sempre con costruzioni che non rispettavano la restrizione del solo uso di riga e compasso. Le costruzioni delle figure di forma data, erano preferibili se effettuate con questi strumenti, in quanto analoghi fisici delle figure considerate fondamentali dai geometri Greci:la retta e il cerchio. (up)

(5) Se convenga riconoscere per vero che esiste un primo motore non mosso, un moto cioè che non nasca da un altro. Per Aristotele la scia dei moti non ha avuto inizio e non avrà fine, il moto è eterno; non così per i teologi che affermano il contrario. (up)

(6) Siamo in un tempo ( c. 450 a.C.) in cui i concetti di infinito e infinitesimo vengono usati in modo spregiudicato da chi tendeva a riproporre una interpretazione della geometria ancora empiristica; Brisone e Antifonte, sofisti, operarono in una condizione di scarsa chiarezza sui problemi della infinita divisibilità, e ne sono testimonianza i loro metodi della quadratura del cerchio, che ben procedono dall’ottimo spunto dell’iscrizione e circoscrizione di poligoni, ma che risultano poi inadeguati e non altrettanto felici nelle conclusioni:
Brisone iscrive e circoscrive poligoni , raddoppia il numero dei lati e, dopo un certo numero di volte, ritiene di riuscire ad ottenere due poligoni le cui aree differiscono di tanto poco che un poligono di area media tra le due può essere assunto come area del cerchio, non tenendo conto che l’operazione può continuare indefinitamente senza mai raggiungere le coppie di poligoni che lui riteneva di avere raggiunto.
Antifonte iscrive in un cerchio un poligono di 4, poi di 8, poi di 16 …e così via …di lati e, ad un certo punto, ritiene che la periferia del cerchio, ovvero la circonferenza, possa confondersi con il poligono inscritto; le obiezioni sono che:

  • Una retta non può incontrare il cerchio in più di due punti
  • Il segmento non può confondersi con l’arco
  • Il ragionamento è in contrasto con il principio della infinita divisibilità delle grandezze.

Tuttavia, va ricordato che i loro metodi, insieme a quelli di Democrito, costituirono il punto di partenza per le analisi successive di Eudosso da Cnido ( 409 – 365 a.C. ), e di Archimede, le quali, a loro volta,aprirono la strada del lungo cammino verso la formalizzazione del calcolo infinitesimale.

(7) Eulero usava il simbolo come perimetro (up)