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3. L’uno, il cinque e il sei

Un riferimento diretto all’aritmetica si trova (Paradiso XV, 55-57) nei versi in cui Cacciaguida, trisavolo del poeta, rivolgendosi a Dante, che non esprime a parole il desiderio di sapere chi fosse e perché si mostri a lui più lieto degli altri beati, dice:

Tu credi che a me tuo pensier mei
Da quel ch’è primo, così come raia
Dall’un, se si conosce, il cinque e ‘l sei
Tu ritieni che il tuo pensiero discenda a me
da Dio, che è principio di ogni cosa, così come discende
dalla conoscenza dell’unità quella di tutti i numeri

e prosegue dicendo che la convinzione di Dante corrisponde al vero, poiché tutti i beati mirano in Dio in cui, come in uno specchio, ogni pensiero umano si riflette prima ancora che sia pensato.
I versi ben si prestano, insieme al corredo dei commenti che hanno contribuito all’esegesi del testo, come spunto per affrontare o richiamare alcune questioni matematiche, anche se non sembrano contenere una asserzione matematica particolarmente ammirabile; non tali, come afferma Bruno D’Amore (1), da ritenersi che possano in qualche modo rappresentare una anticipazione del sistema assiomatico dei numeri naturali elaborato da G. Peano (2), i versi sottintendono il criterio che, come diremmo oggi, ammessa l’unità, possiamo costruire con i successori il numero naturale n , il 5 , e ancora il suo successivo n +1, il 6 , dove il 5 e il 6 vanno intesi come numeri generici successivi ( per Dante il criterio contiene anche il concetto divino della derivazione del molteplice dall’uno ).
Questa proprietà dei numeri interi si può esprimere dicendo che ci sono infiniti numeri interi, e il procedimento costituisce anche la base di uno degli schemi fondamentali del ragionamento matematico, ovvero il principio di induzione matematica (3), che certo non poteva essere già implicato nella considerazione espressa dai versi in questione.
La prerogativa del 5 e del 6 di rappresentare numeri generici, sottolineata nel commento del Sapegno e prima ancora in quello di Carlo Steiner ( e di altri ), viene ribadita da B. D’Amore che, a suffragio di questa tesi, così si esprime: <<D’altra parte anche Euclide, quando vuol considerare un numero generico di numeri primi, ne prende tre ( mi riferisco al celebre teorema: Dato un numero primo qualsiasi, se ne può trovare sempre un altro maggiore ) (4)>>
E’ questa una forma divulgativa, e, nella riduzione, non proprio rispondente alla proposizione 20 del IX libro degli Elementi di Euclide, dove così si legge:
<I numeri primi sono di più che ogni proposto numero complessivo (, moltitudine),
o proposta pluralità, di numeri primi>.
<Siano A, B, C i numeri primi proposti; dico che esistono numeri primi in maggior numero che A, B, C
[, cioè che ne esiste almeno un altro oltre ad A, B, C ].
Infatti si prenda il minimo comune multiplo di A, B, C, e sia esso K; si aggiunga a K l’unità U. Ora il numero K+U o è primo o non lo è. Dapprima sia un numero primo; si sono dunque trovati i numeri primi A, B, C, K+U che sono in maggior numero che A, B, C.
Ma sia adesso il caso in cui, per ipotesi, K+U non è primo, per cui esso è divisibile da un numero primo (VII, 31). Sia diviso dal numero primo D; dico che D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Infatti, se possibile, sia uguale
[ a qualcuno di essi ]. Ma A, B, C dividono K; perciò anche D dividerebbe K. Ma D divide pure K+U; ossia D dividerebbe, pur essendo un numero, anche l’unità U che rimane di K+U [, ossia dividerebbe anche la differenza fra i due numeri consecutivi K+U e K, vale a dire, pur essendo un numero, dividerebbe l’unità U ]: il che è assurdo. Quindi D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Ed è primo.
Dunque si sono trovati numeri primi, cioè A, B, C, D, più numerosi di quanti numeri primi si siano proposti, cioè A, B, C.

L’algoritmo in TurboPascal che segue riesce a restituire numeri primi differenti tra loro solo per una decina di cicli; infatti, TP, pur rappresentando numeri reali compresi tra 1.0 E – 38 e 1.0 E + 38, approssima allo zero tutte le cifre del numero oltre l’undicesima, cosicché, procedendo, per esempio, dalla pluralità dei n. primi 2, 3 e 5, ad un certo ciclo si avrà la divisione D/j con il dividendo D, ottenuto dal prodotto di tutti i n. primi già ricavati aumentato dell’unità, rappresentato come 66468344784000 per eccesso, con degli zeri oltre l’undicesima cifra, anziché 66468344783610 + 1 = 66468344783611 come dovrebbe essere , risultando così divisibile per 2 e restituendo, da quel ciclo in poi, sempre il 2 ( o il 4 o il 5 se facciamo partire il ciclo dal 3 ). Una analoga situazione si verificherebbe procedendo da un’altra scelta della pluralità di partenza. Se poi TP fosse in grado di rappresentare i reali con una quantità maggiore delle 11 cifre specificate, si avrebbe come unico effetto lo spostamento del limite superiore dei cicli efficaci nel restituire nuovi numeri primi.

Tornando alla proposizione di Euclide, dobbiamo quindi osservare che non poteva esordire nella forma “Dato un numero primo…..” poiché l’algoritmo dimostrativo, nella sua logica di iterazione, doveva già contenere l’operatore di moltiplicazione tra numeri primi costituenti una pluralità, che, per altro, la proposizione dice di prendere in considerazione; si aggiunga che ciascun numero primo di volta in volta ricavato non necessariamente risulta maggiore degli altri o di qualcuno di essi.
Euclide considera così tre numeri primi generici A, B, C, oltre all’unità U, che, per Euclide, numero non è! (5) Dante, invece, oltre all’unità prende in considerazione solo due numeri, il 5 e il 6.
Ci si potrebbe a questo punto chiedere perché Euclide non si sia accontentato di prendere due soli numeri primi A e B nella proposizione esposta, dal momento che basterebbero per costituire una pluralità; viene fatto di considerare che l’aspetto logico-estetico entri a far parte della scelta dimostrativa del teorema in base al criterio che quanto più è semplice e chiara e quanto più facilmente comprensibile, visibile, nella sua rappresentazione dimostrativa, tanto più si può dire bella: di numeri primi ne avrebbe potuto considerare sin dall’inizio una ben più numerosa quantità, dal momento che molti già erano noti, ma il ricorso ad una inutile pluralità ridondante avrebbe appesantito l’immagine scritta del concetto, così come due soli numeri primi avrebbero reso meno visibile l’immagine della pluralità.
Va detto inoltre che di fronte all’unità, che, per il suo potere di generare l’infinito assume la duplice natura della singolarità e dell’infinità, Euclide, che ne fa uso per esprimere il concetto dell’infinità dei numeri primi, si dimostra profondamente aristotelico[ “..sicché il numero è infinito in potenza, ma non in atto…questo nostro discorso non intende sopprimere per nulla le ricerche dei matematici per il fatto che esso esclude che l’infinito per accrescimento sia tale da poter essere percorso in atto; in realtà i matematici attualmente non hanno bisogno dell’infinito, poiché si servono soltanto di quantità grandi quanto essi vogliono, ma sempre finite” (Aristotele, Fisica,III,7)], mentre Dante si rivela maggiormente pitagorico nel concepire l’uno( seppur come numero-non numero (6) e origine di tutti i numeri, quello che moltiplicato o diviso per se stesso o elevato a qualsiasi potenza resta sempre uno ) soprattutto come il Logos, il numero-idea (7), simbolo della divinità.
Si potrebbe infine riconoscere come sia la chiarezza logico-estetica del teorema di Euclide sui numeri primi a rendersi altrettanto ammirabile delle rime e degli endecasillabi di Dante, e che, forse, proprio in questa comune purezza espressiva si debba maggiormente riconoscere una significativa corrispondenza di valore e di pensiero.


(1) Atti del Convegno Internaz. di Studi “Dante e la scienza”- Opera di Dante-Bibl. Classense Ravenna - 1993. (up)

(2) Nella costruzione aritmetica come sistema logico, G. Peano parte dai tre concetti primitivi di numero, zero e successore per definire l’insieme dei numeri naturali. (up)

(3) Se una certa relazione, che implica un intero positivo indeterminato n, è verificata per n = 1 ( oppure per n = 0, se anche il valore 0 è ammesso, cioè se la relazione ha senso per n = 0 ), ammessane la validità per un qualunque valore intero n, si dimostra valida anche per n +1, allora possiamo affermare che la relazione è sempre valida. (up)

(4) Atti del Convegno Internaz. Di Studi “Dante e la scienza …...Ravenna – 1993. (up)

(5) ( Elementi, VII, def. 1,2 )”Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno”, “ Numero è una pluralità composta da unità”, per cui il primo numero è 2. (up)

(6) Dante conosce l’ARS GEOMETRICA di S. Boezio dove si legge:” Primus autem numerus est binarius; unitas enim...numerus non est, sed fons et origo numerorum “. (up)

(7) Come nella concezione platonica. (up)