MATEMATICA E… CIVILTA’

La concezione della costruzione geometrica nella Grecia antica

di Armando Bertinetti  L. Sc. St. A. Volta, Torino

 

 

I tre problemi insolubili dell’antichità classica

 

Indice

1.     Introduzione : il sapere matematico e geometrico simbolo di civiltà nell’antichità classica

LE ORIGINI DEI TRE PROBLEMI INSOLUBILI

2.1.  Ipotesi sulle origini storiche dei tre problemi.

2.2.  I problemi nelle testimonianze e nel mito.

I PROBLEMI

3.     La duplicazione del cubo : ARCHITA – DIOCLE – NICOMEDE MENECMO – CARTESIO 

4.     La tripartizione dell’angolo : PAPPO – ARCHIMEDE – TISSANDIER      

5.      Tripartizione, rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio : LA CURVA DI IPPIA DI ELIDE – IL PLANIMETRO

6.     Il numero e la costruzione geometrica.

LE SOLUZONI IMPOSSIBILI

7.     Sull’impossibilità di risolvere con riga e compasso i tre problemi dell’antichità classica.

 


 

INTRODUZIONE (indice)

La civiltà e il sapere matematico e geometrico nell’antichità classica

 

La visione dei greci antichi fissa nella costruzione geometrica e nella matematica un elemento essenziale di civiltà.

Galeno[1] racconta [ Giannantoni Gabriele, I Cirenaici, Sansoni-1958; Galeno, Exhort.,5, ed. Kaibel ] che Aristippo di Cirene, allievo e amico di Socrate, grande viaggiatore del Mediterraneo, << Essendo affondata, durante una navigazione la nave (su cui viaggiava),  fu gettato sui lidi di Siracusa, ma subito si fece coraggio vedendo sulla sabbia dei segni geometrici ( διάγραμμα γεωμετριχόν ): capì infatti di essere giunto presso dei Greci e degli uomini civili, e non presso dei barbari ( stranieri ). >>

E’ questo un aneddoto che ci fa comprendere come la geometria, e la figura tracciata in cui questa trova la sua espressione, venisse ritenuta dagli antichi greci un elemento essenziale di civiltà. Che tale fosse la loro visione nei confronti della costruzione geometrica e del sapere matematico lo si può ricavare da molte altre testimonianze, tra le quali basti citare quanto Platone afferma nella “Repubblica” dove si legge che un buon cittadino si deve applicare allo studio della geometria: [ Libro VIII, 526c ) ]..…Per  tutte queste ragioni non si deve trascurare questa (prima) disciplina ( ovvero la matematica in quanto scienza atta a guidare alla verità) , anzi vi dobbiamo educare le persone….[ IX 527 a-b-c ] Per seconda esaminiamo poi quella che vi è collegata…la geometria, che è l’opposto di come la descrivono coloro che la praticano…La descrivono in un modo ridicolissimo e meschino,…parlano di ‘quadrare ‘, di ‘ costruire su una linea data ‘, di ‘ aggiungere per apposizione ‘…Invece tutta questa disciplina va coltivata in funzione della conoscenza…della conoscenza che perennemente è.. allora dobbiamo raccomandare più che possiamo agli abitanti del tuo bello stato di non trascurare assolutamente la geometria. L’avvertimento all’ingresso dell’Accademia, la scuola filosofica fondata da Platone, per allontanare coloro che riteneva non fossero in grado di pensare, diceva “ Nessuno entri se non è un geometra”: il geometra, in quanto esperto in un’arte, viene infatti preso come esempio di persona capace di distinguere il vero dal falso [ Ippia m. 367 d – 368 a ]. Va sottolineato che l’elemento di distinzione tra la geometria greca e quella babilonese ed egiziana consiste proprio nella sua natura rivolta non tanto all’applicazione del calcolo, ma piuttosto alla ricerca intorno alle figure, individuate dalle loro proprietà specifiche ed autonome. Questo aspetto che la contraddistingue si riconosce in modo emblematico nell’opera di Euclide, gli Elementi, per il suo carattere strettamente teorico, mai rivolto alla pratica e priva di ogni minima regola di misura o di calcolo.

E’ da Talete in poi che la capacità operativa di costruire figure si sviluppa in modo sempre più ampio, sulla base di una ricerca che fissa la sua enfasi nel seguente concetto:

una figura di partenza, in qualche modo, già ne contiene altre in potenza, in quanto dotata di proprietà che permettono lo sviluppo di figure successive. ( Nell’Eutidemo [290,b-c] Platone afferma che i geometri sono, in un certo senso, cacciatori, perché non costruiscono le figure, ma rintracciano quelle che già ci sono.)

La costruzione si presenta in tal senso un’operazione strettamente legata alla dimostrazione: procedendo dai primi principi, cioè dai postulati e dagli assiomi, l’aspetto euristico della costruzione si manifesta:

  • come strumento e metodo di scoperta geometrica,
  • come strumento didattico utile per insegnare la geometria attraverso il modo di “mostrare” e “ costruire le figure”.

Sotto queste vesti, il supporto orale si pone come elemento correlato al procedimento della costruzione, man mano che la si fa, nella sua funzione di supporto comunicativo-descrittivo della figura tracciata. L’aspetto argomentativo-inferenziale, cioè il racconto che viene fatto intorno alle operazioni che vengono effettuate sulla figura, si caratterizza anche come procedura e metodo di scoperta; per la prima volta vengono messe in evidenza le proprietà geometriche di una figura ( per esempio per la prima volta viene mostrato che in ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza ) e queste proprietà diventano un nuovo elemento intrinseco del sapere geometrico che potrà essere sempre richiamato tramite il rifacimento della costruzione.

In senso platonico tale metodo si può considerare una procedura di “riscoperta”, un canone della dialettica che porta a far riscoprire, nell’interno, ciò che c’è già. Nel dialogo platonico Menone [ Menone XIV-e ], questi chiede a Socrate come si possa cercare quel che si ignora completamente cosa sia; il carattere sofistico di questo problema trova per Socrate la sua soluzione in una sorta di “teoria della riminescenza”, e ne dà dimostrazione, conducendo uno schiavo di Menone, che non ha mai studiato la geometria, ad impostare correttamente il problema della costruzione di un quadrato di area doppia di un altro quadrato dato [ vedi Menone [ 81 c - 85 b] “poiché la natura tutta è imparentata con se stessa, nulla impedisce che l’anima, che tutto ha appreso, ricordando una cosa sola, trovi in sé tutte le altre. Cercare ed apprendere sono, nel loro complesso, reminiscenza ( anamnesi ). Alla conclusione del dialogo argomentativo, Socrate chiede finalmente: “Allora su quale linea viene costruito il quadrato?”. Il servo la indica:”Su questa (DB)” e Socrate “Cioè su quella che va da uno all’altro angolo del quadrato (dato)… codesta linea i  sofisti ( nel significato di coloro che sanno, che se  ne  intendono ) la  chiamano  diametro ( con diametro si intendeva anche diagonale, vedi anche Timeo, XX,  54,d ) e,  se tale è il suo   nome, diremo, o servitorello…che è  sulla diagonale  che si  costruisce la superficie”. Una particolarità essenziale di questo passo del Menone è quella di porsi ad esempio dell’importanza della costruzione geometrica, sottolineandone   il vantaggio   che   offre rispetto alla difficoltà del ragionamento numerico.

 

LE ORIGINI DEI TRE PROBLEMI “INSOLUBILI” TRA STORIA E MITO (indice)

IPOTESI SULLE ORIGINI STORICHE DEI PROBLEMI

I tre problemi di costruzione con riga e compasso, per la cui soluzione lo sforzo profuso dai geometri portò comunque ad altri significativi risultati matematici, sono in effetti estensione di problemi già risolti dai Greci; essere in grado di bisecare l’angolo poteva porre il problema della tripartizione, così come l’essere in grado di ricavare il quadrato di area doppia di quella di un quadrato dato poteva portare all’analogo problema per il cubo; la quadratura del cerchio poi, che affianca e segue il problema della rettificazione della circonferenza, appartiene alla tipologia del problema greco che consiste nella costruzione di una figura di forma data, avente area uguale a quella di un’altra data figura; in particolare la duplicazione del cubo fa parte di quei problemi che cercano di estendere alle figure solide i risultati ottenuti per le figure piane.   Nel Sisifo ( 388 – e ) di Platone leggiamo che gli uomini ricercano le cose che ignorano: così in geometria non sulla diagonale, che ènota, si fanno ricerche, ma sulla misura rispetto alle superfici cheessa divide; non sul cubo, ma sulla sua reduplicazione.

Già nella  scuola  pitagorica  si operava in tal senso; sappiamo che i pitagorici erano capaci ad individuare anche graficamente con riga e compasso il  segmento medio proporzionale tra due segmenti dati:

- si congiungano, allineati, i segmenti AB e BC

- si ricavi, tramite la costruzione dell’asse di AC, il suo punto medio O

- si rappresenti la circonferenza di centro O e raggio OA

- si tracci la perpendicolare in B ad AC: si punti in B con raggio BC e si individui B’ su AC, si costruisca l’asse di B’C che è perpendicolare in B ad AC

- si hanno così i due triangoli rettangoli, retti in B, ABD e DBC simili;

infatti: l’angolo in D alla circonferenza è retto perché metà di quello piatto al centro individuato dallo stesso arco AC = diametro, quindi l’angolo DĈB risulta complementare di CDB e di conseguenza =ADB, complementare dello stesso angolo; con i due angoli uguali ( e quindi tre ) i due triangoli rettangoli ABD e DBC sono simili. In particolare  si avrà:

AB : BD = BD : BC  m : h = h : n

Ma ai pitagorici non era noto un metodo per inserire due medi proporzionali tra due segmenti dati, problema di costruzione che, una volta risolto avrebbe, come vedremo, contemporaneamente risolto quello della duplicazione del cubo.

L’estensione alle figure solide di risultati ottenuti per le figure piane è un aspetto tipico della geometria greca, che cerca di svilupparsi in sintonia con il canone cosmogonico della conservazione dell’invarianza nel mutamento e della compresenza dell’altro nell’identico.

[ TIMEO VIII – 34c – 35a,b ]

“ L’anima (del mondo) il demiurgo non la fece dopo il corpo (del mondo) …Egli invero formò l’anima anteriore e più antica del corpo per generazione e per virtù in quanto essa doveva governare il corpo e la formò di tali elementi ed in tal guisa:

  • Dell’essenza indivisibile che è sempre allo stesso modo e
  • Di quella divisibile che si genera nei corpi
  • Di tutte e due formò una terza specie di essenza intermedia che partecipa della natura del medesimo e di quella dell’altro…e presele tutte e tre, le mescolò in una sola specie, congiungendo a forza col medesimo la natura dell’altro”

Ciò che Platone intende affermare nel passo citato è che ogni realtà, in quanto è se stessa e non è le altre ( in quanto diversa dalle altre ) partecipa tanto dell’identico quanto del diverso, in modo che l’identico e il diverso sono i due principi fondamentali che caratterizzano ogni singola realtà nel suo rapporto con le altre e che spiegano la loro unità e la loro molteplicità. In tal senso l’identico e il diverso ( l’altro ) non possono che essere gli elementi costitutivi  dell’anima del mondo.

Nel dialogo  platonico  Gorgia  [ tradizionalmente considerato il padre della  retorica,  definita

come strumento di persuasione per ottenere successo nelle varie circostanze della vita; nacque

a Leontini, in Sicilia intorno al  485-480 a.C. ] Socrate si rivolge a Callicle, personaggio sconosciuto da altre fonti, verosimilmente inventato da Platone al fine di personificare  il prototipo dell’Ateniese privo di ogni scrupolo morale e senso di civiltà, dicendo [ 508, a - b ]:

“E i sapienti, invece, ( Platone potrebbe riferirsi ai pitagorici Archita di Taranto e Filolao ) dicono, Callicle, che a tenere insieme cielo e terra, dei e uomini, sono la comunanza, l’amicizia, l’ordine, la temperanza, la giustizia, e, proprio per questo, amico mio, essi danno a questo insieme il nome di ‘cosmo’ [ ordine ], e non quello di acosmia [ disordine ], né quello di dissolutezza. Ma mi pare che tu non presti attenzione a queste cose, e questo benché tu sia sapiente, e non ti sei accorto  che l’uguaglianza geometrica ha grande potere fra gli dei e fra gli uomini, e pensi invece che si debba coltivare l’eccesso: infatti tu trascuri la geometria.”

In questo passo l’importanza della geometria e della matematica è legata al concetto di uguaglianza e giusta proporzione, che caratterizza l’ordine dell’universo, il cosmo, e che, per analogia e necessità, si presta a suggerire il criterio del giusto equilibrio per la costituzione del Senato e per le modalità da adottare per l’elezione dei suoi componenti. Leggiamo infatti [ Platone – Leggi - 757 – a – b – c ]:

“ Il sistema elettorale che avvenga in questi termini, si trova ad essere in mezzo tra la costituzione monarchica  e quella democratica, e sempre in mezzo ad esse deve trovarsi la costituzione.…E’ vero quell’antico detto secondo cui l’uguaglianza produce amicizia, ma…quale uguaglianza è in grado di produrre amicizia? Vi sono infatti due specie di uguaglianza, quasi opposte sotto molti aspetti.” E queste sono l’uguaglianza geometrica, fondamento del ‘ giusto aristocratico ‘, propria della natura degli dei, di cui bisogna servirsi in quanto assegna onori proporzionalmente ai meriti e alle virtù dei privati cittadini, e l’uguaglianza numerica, fondamento del ‘ giusto democratico ‘ che regolamenta la distribuzione degli onori  e riguarda l’uguaglianza nella misura, nel peso e nel numero, e che, nelle suddivisioni, può anche avvalersi del sorteggio. E perciò, nella sorte, bisogna servirsi dell’uguaglianza invocando il Dio, poiché il discernerla appartiene a Zeus, e della buona fortuna, perché dirigano la sorte nella direzione di ciò che è più giusto. La democrazia ateniese è, nella sostanza, una aristocrazia con l’approvazione del popolo [Menesseno, 238 c – 239 a] “ Così ci si deve servire necessariamente delle due forme di uguaglianza.”, che sono i principi della giusta proporzione e della giusta misura, vie d’accesso alla dialettica.

E’ questo il concetto filosofico dell’ordine e dell’armonia del mondo, matematicamente intesa come proporzione, che, come è stato riportato, fa dire a Socrate [ GORGIA, 506 e ]:

“ La virtù di ciascuna cosa, dunque, consiste in un ordine e in un’armonia risultante da una giusta proporzione “

La proporzione è quella che descrive armonicamente l’universo e la ripartizione nelle sue parti.

[ TIMEO, VII – 31,c – 32,a ] “Sicché il demiurgo cominciò a comporre il corpo dell’universo. Lo fece di terra e di fuoco, ma non è possibile che due cose si compongano bene senza una terza; bisogna che in mezzo vi sia un legame che le congiunga….e il più bello è (quello della)..proporzione che compie questo in modo bellissimo (medi ed estremi interscambiabili). Se (però) il corpo dell’universo doveva essere piano… un solo medio bastava, ma poiché conveniva che fosse solido ( due dovevano essere i medi ) mise acqua e aria tra fuoco e terra.”

Se prendiamo due numeri piani e più precisamente quadrati, 4=22 e 9=32, si può costruire la proporzione con un solo medio :  4 : 6 = 6 : 9.

Se prendiamo due numeri solidi e più precisamente cubici, 8=23 e 27=33, si può costruire la proporzione con due medi :   8 : 12 = 12 : 18 = 18 : 27.

E’ la proporzione continua X : Y = Y : Z = Z : K  che, con i suoi  4 elementi, associati agli elementi costituenti l’universo, scambievoli tra loro e nel mutamento invarianti, esprime la proprietà che detta le condizioni di un universo ordinato armonicamente.

Fu Ippocrate di Chio (V a.C.), discepolo di Pitagora, procedendo da una proporzione di questo tipo, ad impostare il problema del raddoppio del cubo, usando il metodo che in geometria è detto di riduzione, e che consiste nel riproporre il problema dato sotto altra forma, trasformando il problema in un altro, la cui soluzione diventa contemporaneamente soluzione del problema dato.

 Nel caso della duplicazione del cubo Ippocrate riduce il problema di geometria solida ad un problema di geometria piana, che consiste proprio nella ricerca dei due medi proporzionali dei due segmenti dati e che sul piano possiamo così rappresentare:

Essendo i triangoli ABC e BCD rettangoli con AC perpendicolare a BD, possiamo scrivere:

Da  1 e 2  si ha :  I )   X2 = a y    e   anche   y = 1/a X2

Da  1 e 3 si ha :  II )  X = ab/y  e   anche   y = ab/x

Moltiplicando  I ) e II )   si ha :   X3 = 2a3   e con   b = 2a

X3  = 2a3

Riconosciamo quindi in questa situazione  il problema del raddoppio del cubo  tramite la natura della proporzione che la descrive e che si presenta poi come simbolo di ordine e di armonia su cui Timeo  fonda il paradigma della creazione del cosmo ( posto sulla necessità di costruire la proporzione tra i due elementi di natura cubica tramite due medi proporzionali ). Nel Timeo, quindi, l’impronta della concezione pitagorica di natura numero e armonia, nell’avvalersi della ‘ giusta proporzione di Ippocrate ‘ , nota a Platone, sottolinea il legame tra la costruzione del cosmo e la costruzione geometrica, che si pone quindi come elemento essenziale della conoscenza, del sapere e della civiltà.

Il problema della duplicazione può essere così riformulato :

Se il lato di un cubo vale 1, indicando con X il lato di un cubo di volume doppio, si dovrà avere X3 = 2 ,  cioè   X =  3√2.

Questa nuova formula di rappresentazione del problema non ha portato però a nessuna soluzione con il semplice uso di riga e compasso, che, come vedremo, non  può esistere ! 

Circa la restrizione di usare nelle costruzioni soltanto la riga e il compasso sono state date svariate interpretazioni.

Il fatto che la riga e il compasso fossero l’analogo fisico della retta e del cerchio, figure fondamentali della geometria, certamente contribuì a far ritenere le costruzioni effettuate con tali strumenti quelle da preferire, ma una maggiore restrizione al loro uso pare si debba a Platone, oppostosi all’uso di altri strumenti meccanici in quanto attinenti più con il mondo dei sensi che con quello delle idee, da lui considerato primario; sua è la definizione di figura geometrica che considera perfette unicamente quelle figure costruibili elementarmente, ottenibili cioè solo congiungendo punti con la riga o riportando segmenti uguali tramite il compasso.

Il privilegio di tali costruzioni sulle altre si pone pertanto come  fatto concettuale, poiché, quando l’idea della costruzione si traduce nella sua immagine posata sul foglio tramite lo strumento, sia esso la riga o il compasso o un altro, si trasforma pur sempre in qualcosa di approssimato relativamente alla misura degli elementi geometrici che la costituiscono;

Pare quasi che la geometria prenda il sopravvento sulla matematica e ci induca a dire “ guarda, vedi? Ecco la √2 ! “Ma così non è: la sua immagine grafica è altrettanto formale quanto l’indicazione stessa di √2.

Pari sorte per la  3√2, la cui costruzione tramite la curva y = x3  e la retta  y = 2 risolverebbe il problema della duplicazione del cubo ( non con riga e compasso ma con l’uso di uno  strumento preciso qual è il computer)

 

In tal modo non si fa ricorso alle costruzioni con le coniche, le quali pure non possono che essere rappresentate per punti: l’imprecisione rimarrebbe in ogni caso identicamente presente nella misura e contemporaneamente assente rispetto all’idea astratta della costruzione: il paradigma geometrico è la norma, poi la costruzione viene descritta “more geometrico” con la costruzione grafica che ne è il simbolo, l’icona; si potrebbe parlare di iconismo simbolico, perché il segno è “simbolo” e non rappresentazione realistica di una “cosa” o, fatto peraltro impossibile di una “idea”. Nella Repubblica (510 , c - e) leggiamo  “Coloro che si occupano di geometria, discutono di figure visibili, ma non pensano ad esse, bensì a quelle di cui esse sono copie ( il quadrato in sé, la diagonale in sé )”. La tradizione ha considerato la scelta di curve di grado inferiore preferibile, in quanto più rispondente al criterio di elementarità; tale scelta, pertanto concettuale, sottolinea il valore del ragionamento geometrico che, fondato su concetti astratti, trova nella sua chiarezza e semplicità, il suo grado di bellezza.

La scuola pitagorica fu la più influente nel determinare questa natura della matematica e della geometria greca e proprio ad essa bisogna riconoscere il merito di aver dato alla matematica e alla geometria uno status speciale e indipendente, in quanto furono il primo gruppo a trattare concetti matematici e geometrici come astrazioni, e benché Talete avesse già stabilito alcuni teoremi per via deduttiva , essi esplorarono questo procedimento in modo sistematico e rigoroso, distinguendo le teorie della matematica e della geometria dall’attività pratica. Si comprende così come, anche per questa ragione, ci fosse, nella civilissima Grecia antica, una scarsa considerazione per la realizzazione  e per la costruzione di strumenti e di macchine, oltre a quelle di natura sociologica ( l’abbondanza di mano d’opera prelevata dalle riserve di schiavi ) e di natura religiosa ( la fede sicura per una realtà perfetta e ordinata dagli dei da una parte ne favorisce la contemplazione; la fede nell’intelligenza ordinatrice degli dei è stimolo e sostegno alla fiducia nella stessa intelligenza umana e quindi nella possibilità per l’uomo di riportare equilibrio e luce dentro di sé attraverso la conoscenza di questo ordine, di questa realtà in sé perfetta, ma dall’altra, proprio l’idea  di una realtà già costituita ed in sé perfetta, frena lo slancio verso la ricerca di qualcosa da aggiungervi, attribuendo all’intelligenza umana un carattere contemplativo e imitativo, piuttosto che creativo ).


[1] Galeno: (II d.C.) dopo Ippocrate, grande medico dell’antichità, ma anche matematico ed astronomo; il periodo alessandrino assistette infatti ad applicazioni della matematica alla medicina mediante l’astrologia. Tra i vari e numerosi scritti di medicina scrisse anche l’opuscolo “ Il buon medico deve essere anche filosofo “.

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