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SOLUZIONE CITATA DA PAPPO DI AUTORE IGNOTO PER LA COSTRUZIONE DELLA TRIPARTIZIONE DELL’ANGOLO RAPPRESENTATA ANALITICAMENTE (indice)

Ci resta ancora da dimostrare che S ha ascissa X ricavabile dall'intersezione tra l'iperbole e il circolo.

DIMOSTRIAMOLO:

L’ascissa  di  S  sul  piano (cioè X) vale  KS  =  KM + MS     ;      MS  =  OS * cos ⅓α  ;

 ma  OS  =  2 BM   =  2 √  (a² +  b²)    da  cui    MS  =  2√  (a² +  b²)  *  cos ⅓α  ,  quindi  :

X  =  KM  +  MS                              X  =   a  +  2 √  (a² +  b²) * cos ⅓α   ;

Sulla  circonferenza  avremo  :

(a  +  2 √  (a² +  b²) * cos ⅓α  -  a  )²  +  (  y  -  b  )²   =  4  (  a² +  b² )

( y  -  b )² =  4 ( a² +  b² )  -   4  (  a² +  b² )* cos²(⅓α)

( y  -  b )² =  4 ( a² +  b² ) ( 1 - cos²(⅓α) )

( y  -  b )² =  4 ( a² +  b² ) sen²(⅓α)

( y  -  b ) =  ± 2√ (a² +  b²) * sen (⅓α)

y  =  b  ± 2√ (a² +  b²) * sen (⅓α)    e  considero  la  radice  con  il  segno  meno;

quindi  per  la  circonferenza  Y circonferenza  =  b  - 2√ a² +  b² * sen (⅓α)  

(  che  risulta  =  NO = MN – OM  )  ;

Sostituendo  la  X  sull’iperbole  dovrei  ricavare  lo  stesso  valore  di  ordinata :

                                                                                                             ab

sull’iperbole  avremo  , da  y  =  (ab)/ x  ,  Y iperbole = --------------------------------

                                                                                                      a  +  2 √  (a² +  b²) * cos⅓α  

Pongo   (⅓α)  =  β   e  si  dovrà  dimostrare  che  :

                                                                                                                          ab      

Y circonferenza  =  b - 2√ (a² +  b²) * sen β   =     Y iperbole =  --------------------------------

                                                                                                                   a  +  2√  (a² +  b²) * cosβ  

( a + 2 √  (a² +  b²) * cosβ) * ( b - 2√ (a² +  b²) * sen β) =  ab

ab  -  2a√ (a² +  b²) * sen β  + 2b√  (a² +  b²) * cosβ  =  4( a² +  b²) sen β cosβ  + ab

quindi  deve  essere  2 √  (a² +  b²)   ( b cosβ - a sen β ) = 4( a² +  b²) sen β cosβ ;

dividendo  per  2 √  (a² +  b²)  ottengo  : ( b cosβ - a sen β ) = 2 √  (a² +  b²)  sen β cosβ

da  cui   ( b cosβ - a sen β )/2 sen β cosβ = √  (a² +  b²)                    (ovverosia  BM )

Sappiamo  che   a = BM cos 3β   e  che  b = BM sen 3β    e  sostituendo  si  avrà :

BM sen 3β cosβ  -   BM cos3 β sen β

------------------------------------------------  =  BM

2 sen β cosβ

BM ( sen 3β cosβ  -  cos3 β sen β )                             1

------------------------------------------------  =  BM

2 sen β cosβ

sen 3β cosβ  -  cos3 β sen β  =   2 sen β cosβ

(3 sen β – 4 sen³β)cosβ  - (4 cos³β –3cosβ)senβ  =   2 sen β cosβ

3 sen β cosβ - 4 sen³β cosβ - 4 cos³β sen β  + 3 sen β cosβ  = 2 sen β cosβ

sen β cosβ ( 6 – 4 sen²β   - 4 cos²β ) = 2 sen β cosβ

sen β cosβ [ 6 – 4 ( sen²β  +  cos²β ) ]  =  2 sen β cosβ

2 sen β cosβ  =   2 sen β cosβ             c. v. d.

 

LA TRISEZIONE DELL’ANGOLO DI ARCHIMEDE

E’ stato chiarito che nei tre problemi la riga deve essere utilizzata esclusivamente come un’asta rigida da usarsi solo per tracciare rette, senza cioè poter prendere misure o segnare delle distanze: il risultato che un angolo generico non può essere tracciato col solo uso della riga e del compasso, è vero soltanto quando si considera la riga come uno strumento che serve “UNICAMENTE” per tracciare una retta passante per due punti. Se non fosse inteso in tal senso, il problema della tripartizione troverebbe  la soluzione con il seguente metodo di Archimede:

dato l’angolo  CÔK = X nella semicirconferenza di centro O e diametro CZ = 2r si voglia ricavare l’angolo  y = (1/3) x. Si faccia in modo che la riga  individui la retta che, passando per K, intersechi in A il prolungamento del diametro CZ  in modo tale che il tratto esterno alla circonferenza AB sia uguale al raggio r.  Si dimostra, in tal caso, che l’angolo y = BÂZ risulta pari a (1/3) x.

 

Infatti : ABO è un triangolo isoscele di lato r

              BOK è un triangolo isoscele di lato r

              KOC è un triangolo isoscele di lato r

Poiché  ABO è un triangolo isoscele avremo:

BÂO = BÔA = y ; KÔB = 180 – BÔA - CÔK

                       KÔB = 180 – ( x + y )

   La somma dei due angoli alla base del

triangolo isoscele BÔK vale quindi ( x + y ); in particolare  l’angolo KBO vale ( x + y )/2;ABO = ( 180 – KBO ) = [ 180 - ( x + y )/2 ]

e anche ABO = ( 180 – 2y ) ; si ricava così:

2y = ( x + y )/2                  4y = x + y                                3y = x    

Uno dei tanti strumenti che si ispirano a questa costruzione è il

 

TRISETTORE  DI  TISSANDIER (  Divulgatore scientifico - Parigi 1843-1899  )

 

Immaginiamo di condurre la secante ABC in  modo  che  la  sua  parte esterna AB sia uguale al raggio BO. Nel triangolo isoscele ABO  si  avrà  BÂO = BÔA =α e l’angolo esterno CBO = 2α Nel triangolo isoscele BCO si avrà anche BĈO = 2α. L’angolo BÔC  risulterà  =  ( 180 - 4α ), e dunque CÔD = 180 – BÔA – BÔC, CÔD = 180 – α - ( 180 - 4α ) = 3 α.

Come  si  può  vedere dalla  figura, un trisettore che  si basi su tale proprietà è davvero di facile  realizzazione.

 

 

Tripartizione, rettificazione e quadratura del cerchio: LA CURVA DI IPPIA DI ELIDE (indice)

La trisettrice, luogo del punto P, è evidenziata in figura nel tratto DPZ.

Ricaviamo l’equazione cartesiana della curva: se AD’ raggiunge AD in un intervallo di tempo  t del tempo totale  TTot necessario ad AB per raggiungere AD,  poiché  AD’  e  B’C’ si  muovono con  la stessa velocità costante,  anche B’C’ percorre la parte E’H’( = B’A ) nella stessa frazione di tempo t; ne segue che:

Sia quindi  φ  l’angolo da trisecare :

si trisechi  y in modo che sia   E’H  =  2 HH’ ; la retta B’’C’’  per  H  interseca  la  curva di Ippia in  L;  ora tracciamo AL  ed otteniamo l’angolo LÂD = φ/3 ; infatti, per le stesse ragioni già esposte per ricavare la equazione della curva, si avrà :  LÂD  : π/2   =   HH’ :  1 , ed essendo che      φ   : π/2   =   y   :   1 ,  dividendo membro a membro, si ottiene   LÂD  : φ   =  y/3 :  y                       LÂD  = φ/3  .

Per ricavare l’equazione della curva in coordinate cartesiane avremmo potuto anche ragionare nel seguente modo :

Sia  AB = 1;  se T è il periodo del moto circolare uniforme di rotazione del lato AB, poiché il moto di traslazione deve avvenire nello stesso tempo, l’intervallo di tempo in cui avvengono i due moti è T/4  . L’equazione della retta AE’ dopo che è trascorso un tempo  t,  poiché il suo coefficiente angolare è  m = tg φ  con φ = ωt =2π t/T , risulta   y =   2π t/T   x ; l’equazione del lato che trasla passante per E’, quando è trascorso lo stesso tempo t, ( essendo la v = S/t pari a   1/T/4   = 4/T , poiché il lato trasla di un tratto = 1  in un tempo T/4 , ed avendosi   y = allo spazio percorso  S )  risulta  y = S = v t  ,   y = 4t/T . Poiché si tratta  per entrambe le equazioni  dello stesso tempo t, ricavando da quest’ultima  t = Ty/4  e sostituendolo nella precedente, si ottiene l’equazione cercata, luogo del punto intersezione tra la retta in rotazione e quella in traslazione, dove Z è il punto finale della curva:

y = tg   (2π /T * Ty/4)   x       y  =  tg   (π y/2)    x

 Il punto Z però non può ricavarsi direttamente dalla definizione della curva poiché  AB raggiunge  AD  nello stesso istante in cui viene raggiunta da BC, per cui, nella sovrapposizione, la coordinata  x  perde significato.  Il punto Z  può  quindi ricavarsi solo ad occhio, e può essere ottenuto solamente come limite dei precedenti punti della trisettrice.

Con il calcolo differenziale si dimostra che  x = AZ  = 2/π.  Infatti, (con AB = 1), Calcoliamo il

                                                                                    y

limite per  y  che tende a zero  di  x  con  x =   ------       .

                                                                              tg   π y/2

Poniamo   π y/2  =  Z       da cui  y  = 2Z/π    e avendosi che  per  y  che tende a zero anche z  tende a zero, si potrà scrivere :

Su questa base, avendosi “ quasi rigorosamente “ il punto Z, si può ricavare il  π, e, con riga e compasso,  rettificare la circonferenza e quadrare il cerchio.

Per questa sua proprietà la curva è anche conosciuta sotto il nome di quadratrice di Dinostrato, vissuto qualche decennio dopo Ippia (ca. 350 a.C.).

Ricaviamo, considerato come identificato il punto Z della quadratrice, il segmento che equivale all’arco DB, quarta parte della circonferenza di raggio AD (con procedimento costruttivo con soli riga e compasso); avendo AZ si può infatti ricavare AF, terzo proporzionale tra  AZ e AD ( secondo la proporzione  AZ : AD = AD : AF ) nel seguente modo: ( vedi fig. pag. 29 )

detto E il punto sulla retta AB tale che sia AE = AD,  si unisca E con  Z  e si tracci poi DF parallelamente ad EZ; le rette parallele per EZ e DF determinano sulle due trasversali AF e AD segmenti direttamente proporzionali, per i quali si ha  AZ : AD = AE : AF, ed essendo AE = AD  si ha proprio  AZ : AD  =  AD : AF,   ovverosia   2/π : 1 = 1 : AF,       ed infine  AF = π/2

Il problema della rettificazione e della quadratura, cioè quello di catturare il π, resta comunque impossibile da risolvere non solamente con riga e compasso, come vedremo in seguito, ma neppure tramite curve algebriche, cioè curve le cui equazioni contengono solamente le quattro operazioni elementari e l’estrazione di radice ( è il risultato di Lindemann, 1882, a stabilire che il numero π è trascendente ).

Il matematico ed elettrotecnico polacco Abdan Abakanowicz ( 1852-1900 ), particolarmente noto per i suoi studi sull’integrazione numerica, ideò e fece costruire uno strumento  “trascendente”, che è in grado di fornire con un tratto continuo curve trascendenti, capaci quindi di catturare il π: tale strumento è l’INTEGRAFO ( planimetro ) il cui principio di funzionamento si basa sulle seguenti considerazioni: per ogni punto di una curva differenziale y = f(x) si costruisca il triangolo con vertici in ( x ; y ),( x ; 0 ),[ (x-1) ; 0 ]. L’ipotenusa di tale triangolo rettangolo forma con l’asse x un angolo α di tangente trigonometrica uguale al valore dell’ordinata y ( cioè tg α = y ). Quindi questa ipotenusa è parallela alla tangente alla curva integrale  Y = F(x) = ∫ f(x)dx nel punto corrispondente (x,Y).

Vediamolo con un esempio:

Lo strumento opera in modo che una punta disegnante proceda sempre parallelamente alla direzione variabile della nominata ipotenusa, mentre la punta descrivente percorre la curva differenziale. L’integratore, che può essere utilizzato in pratica per il calcolo di integrali definiti, può essere impiegato per costruire il π utilizzando per esempio, quale curva differenziale, quella del cerchio  x2 + y2 = r2 la cui corrispondente curva integrale  è:

che, per esempio, in  x = r   fornisce Y = r2* π/4  da cui si ricava π.

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