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Simmetrie: metafore letterali

La geometria si interessa delle proprietà delle figure. Poiché però vogliamo evitare problemi al curatore del sito, oltre che cercare di attirare nella nostra trappola i lettori non specialisti, limiteremo la nostra attenzione alla geometria dell'alfabeto, che si interessa delle proprietà delle lettere.


Prendiamo, ad esempio, la lettera b. Riflettendola verticalmente, in uno specchio disposto parallelamente ai lati lunghi del foglio, otteniamo la lettera d. Riflettendola invece orizzontalmente, in uno specchio disposto parallelamente ai lati corti del foglio, otteniamo la lettera p. Se invece ruotiamo il foglio di centottanta gradi, oppure lo guardiamo dall'altra parte del tavolo, la b si trasforma in una q. Naturalmente, la cosa non cambia se si parte da una qualunque delle quattro lettere b, d, p e q: q si può ottenere riflettendo p verticalmente, o d orizzontalmente, e così via. In un senso preciso, le quattro lettere sono dunque la stessa lettera, semplicemente in posizioni diverse.

 

1) riflessione verticale 2) riflessione orizzontale
3) traslazione 2) rotazione

Le operazioni che abbiamo appena eseguito sulle lettere si chiamano, per ovvi motivi, riflessioni e rotazioni. Possiamo subito notare che la rotazione si potrebbe evitare, perché si può ridurre a due opportune riflessioni: ad esempio, se dapprima riflettiamo b verticalmente, ottenendo d, e poi riflettiamo d orizzontalmente, otteniamo di nuovo q, senza rotazioni. Non sarebbe invece possibile evitare le riflessioni: ad esempio, non c'è modo di ruotare b o q, in modo da farle diventare d o p.


rotazione due riflessioni

Proviamo ora un gioco diverso, considerando non più singole lettere ma parole. Ad esempio, in "bdb'' la d è una riflessione verticale sia della b di sinistra che di quella di destra, il che significa che la b di sinistra può essere spostata sulla b di destra mediante due riflessioni. Un movimento orizzontale di questo genere viene chiamato traslazione, e abbiamo appena osservato che una traslazione si può ridurre a due opportune riflessioni.

Analogamente, nella parola "bp'' la p si può considerare come uno spostamento orizzontale non della b, ma di una p che è una sua riflessione orizzontale. In questo caso si dice che b ha subìto una glissoriflessione orizzontale, e abbiamo appena osservato che una glissoriflessione si può ridurre a una riflessione, seguita da una traslazione nella stessa direzione.

4) glissoriflessione
Simmetria per i piedi del soldato sull'attenti.

Poiché questi esempi mostrano che la riflessione ha un ruolo centrale, i matematici definiscono la simmetria geometrica (che loro chiamano isometria) come un qualunque movimento che si ottenga mettendo insieme delle riflessioni. E due figure sono geometricamente simmetriche (o isometriche) se è possibile passare da una all'altra mediante una simmetria geometrica. Ad esempio, le impronte dei piedi di un soldato sull'attenti sono simmetriche perchè legate da una riflessione; se il soldato effettua un fianco-destro o un fianco-sinistro senza spostarsi, le impronte delle stesso piede sono legate da una rotazione; se invece il soldato è in marcia, le impronte dello stesso piede sono legate da una traslazione, e quelle di piedi diversi da una glissoriflessione.

Traslazione per i piedi del soldato in marcia.

I tipi di simmetrie che abbiamo considerato non sono stati scelti a caso. Si può infatti dimostrare che ogni simmetria geometrica, anche se apparentemente più complicata, è in realtà riducibile a una riflessione, o una rotazione, o una traslazione, o una glissoriflessione. Ad esempio, la simmetria che sposta orizzontalmente una b in una d sembra richiedere una riflessione verticale e una traslazione orizzontale, ma in realtà si può fare mediante una sola riflessione verticale (in uno specchio posto a metà distanza fra la b di partenza e la d di arrivo). I quattro tipi forniscono dunque una classificazione completa delle simmetrie.
Prima di passare alle applicazioni, facciamo ancora un paio di osservazioni. Anzitutto, come abbiamo già accennato, rotazioni e traslazioni non cambiano il verso di una lettera (b può diventare q, ma non d o p), mentre riflessioni e glissoriflessioni sì. Inoltre, traslazioni e glissoriflessioni muovono sempre tutte le lettere, mentre una rotazione ne lascia una allo stesso posto (quella attorno a cui si ruota), e una riflessione lascia addirittura una riga allo stesso posto (quella rispetto a cui si riflette).