Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

 

Dominio (Domain) di relazioni e funzioni

Un insieme A è detto dominio della relazione R se R è un sottoinsieme di , qualunque sia l’insieme B.

Se R è una relazione che lega gli elementi da A a quelli di B, il dominio è dunque l’intero insieme A.

Es: si consideri la seguente relazione :

È bene sottolineare che spesso viene definito come dominio il sottoinsieme di A formato dagli elementi che sono in relazione con almeno un elemento di B, cioè solo gli elementi dotati di un’immagine in B.
Questo problematico diverso uso del termine dominio è fortunatamente irrilevante quando si parla di dominio di una funzione: in questo caso A e il suo sottoinsieme degli elementi dotati di immagine devono coincidere per definizione di funzione!

D’altra parte sono tipici gli esercizi che richiedono di determinare il dominio di una funzione: in tali esercizi si sottintende che tanto il dominio quanto il codominio siano sottoinsiemi di ben precisi insiemi numerici (solitamente di ), e si invita a determinarli in modo che la f considerata risulti effettivamente una funzione.


Esempio: non è definita per , quindi non è una funzione: non ha senso chiedere di determinarne il dominio. Si tratta di una relazione avente dominio .

Si può invece chiedere di determinare quale dovrebbe essere il dominio affinché la sia una funzione reale. La risposta a questa domanda, considerando che il codominio deve essere , è:
, cioè è una funzione.


Ma se il codominio di f fosse ? In questo caso non ci sarebbe motivo per escludere i numeri reali negativi, la cui radice complessa è definita in , ma insorgerebbe un altro problema: ogni numero reale negativo ha due radici nel campo complesso. Quindi f non sarebbe una funzione in quanto relazione non univoca.