Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

 

Funzione (function)

Una relazione binaria è detta funzione se ogni elemento del dominio A è in relazione con uno e un solo elemento di B, cioè:

(Sinonimi: applicazione, corrispondenza univoca, map)

Per le funzioni si usa una notazione diversa da quella delle relazioni; infatti, anziché scrivere oppure (notazioni tipiche delle relazioni), si usa la seguente rappresentazione simbolica:
per indicare che la funzione ha dominio A e codominio B;
per indicare che la funzione f fa corrispondere all’elemento x del dominio l’elemento y del codominio.


Esempio:

È importante sottolineare la proprietà che distingue le funzioni dalle relazioni:
- ciascun elemento del dominio A deve avere esattamente un’immagine nel codominio B, ovvero ogni deve avere una e una sola immagine.

Leibniz

Il concetto di funzione è fondamentale per la matematica, ed è utilizzato in vari contesti per descrivere un particolare legame di dipendenza tra gli elementi di due insiemi. Il termine ‘funzione’ venne introdotto nel 1673 da G. W. Von Leibniz per indicare quelle relazioni esprimibili tramite una semplice formula matematica; questo concetto venne poi generalizzato e formalizzato fino a giungere all’attuale definizione.

Quando si considera una funzione numerica, il cui dominio A e codominio B sono cioè insiemi numerici, spesso esiste un’espressione che permette di calcolare l’immagine di ogni elemento . La funzione viene rappresentata tramite questa espressione, indicata con : o più sinteticamente

Esempio: la funzione che associa a ogni numero reale il suo quadrato :

cioè .
Va comunque notato che la scrittura chiarisce e rappresenta il legame tra un elemento x e la sua immagine, ma non è la funzione.


Le rappresentazioni grafiche più usate per le funzioni sono quelle sagittale e cartesiana già introdotte per le relazioni; in particolare la rappresentazione grafica tipica delle funzioni numeriche è quella cartesiana, detta sinteticamente grafico della funzione.
Un grafico cartesiano bidimensionale è sufficiente se gli elementi del dominio e del codominio dono rappresentabili mediante i punti di una retta, altrimenti (ad esempio se dominio o codominio sono l’insieme dei numeri complessi) occorre usare grafici cartesiani a più di due dimensioni.

Altri termini usati frequentemente in alternativa alla parola funzione sono: applicazione, corrispondenza, trasformazione. Mentre il primo di questi è effettivamente un sinonimo di funzione (frequentemente utilizzato in geometria), una corrispondenza è una relazione ovunque definita ma non necessariamente univoca: in sostanza l’espressione corrispondenza univoca è sinonimo funzione. Il termine trasformazione è invece più restrittivo di funzione: si usa solitamente in geometria, per rappresentare una biezione tra punti del piano o dello spazio.
In inglese il sinonimo di “function” più utilizzato è “map”.