Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Costruzioni con riga e compasso
(Compass and straightedge constructions)

Un problema geometrico si dice risolubile con riga e compasso se si può risolvere con un numero finito delle seguenti operazioni geometriche elementari:

  • Condurre una retta per due punti
  • Determinare il punto comune a due rette
  • Costruire una circonferenza di centro e raggio assegnati
  • Determinare i punti comuni ad una retta e ad una circonferenza o a due circonferenze.

Risulta allora che un problema è risolubile con riga e compasso se e solo se, tradotto algebricamente, dà luogo ad equazioni di primo grado o ad equazioni risolubili tramite radicali quadratici.

Un problema che si può risolvere utilizzando solamente la riga e il compasso si dice che è risolubile elementarmente.
Tutte le costruzioni geometriche presenti negli “Elementi” di Euclide sono costruzioni elementari.
I Greci consideravano la retta e la circonferenza le figure geometriche fondamentali e quindi furono i primi a dare un particolare valore a questo tipo di ricerca. Per i Greci si trattava di risolvere problemi che riguardavano figure non limitandosi a mostrare la possibilità logica di una loro soluzione, ma facendo vedere concretamente quale essa fosse. Si trattava, in altre parole, di cercare soluzioni esatte, non approssimate (come ogni disegno effettivamente è), indipendenti dalla precisione degli strumenti utilizzati, ma allo stesso tempo di mostrarne, concretamente, una rappresentazione grafica.

Esempi di problemi risolubili elementarmente sono la costruzione di un angolo congruente ad un angolo dato, la bisezione di un angolo (cioè il problema di dividere in due parti uguali un angolo dato vale a dire di tracciare la bisettrice di un angolo dato), la costruzione dell’asse di un segmento, della retta perpendicolare ad una retta data condotta da un suo punto o da un punto esterno ad essa, della retta parallela ad una retta data condotta da un punto esterno ad essa.
Non tutti i problemi sono risolubili in questo modo: già la trisezione dell’angolo, che consiste nel suddividere un generico angolo in tre parti uguali, non è risolubile elementarmente in generale anche se lo è per casi particolari (angolo retto, angolo piatto..). Un altro problema risolubile elementarmente solo in certi casi è quello della ciclotomia, ossia della suddivisione della circonferenza in n parti uguali: Gauss e Wantzel dimostrarono che è possibile solo se n soddisfa certe condizioni. Altri due famosissimi problemi non risolubili con riga e compasso sono infine quello della duplicazione del cubo (cioè quello di costruire un cubo avente volume doppio di quello di un dato cubo) e quello della quadratura del cerchio (vale a dire quello di costruire un quadrato avente area uguale a quella di un dato cerchio).


Vogliamo presentare alcune costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso.

  • Costruzione di un quadrato inscritto in una circonferenza data.
Tracciare un diametro qualsiasi e il diametro ad esso perpendicolare sfruttando la costruzione dell’asse di un segmento; se AB e CD sono i due diametri perpendicolari, abbiamo che i triangoli rettangoli isosceli aventi per ipotenuse i lati AC, CB, BD e AD sono congruenti. Inoltre risulta che gli angoli interni del quadrilatero ABCD sono congruenti e retti; possiamo concludere che il quadrilatero ABCD inscritto nella circonferenza è un quadrato.
  • Costruzione di un ottagono regolare inscritto in una circonferenza data.
Costruire il quadrato ABCD nella circonferenza come sopra. Tracciare le bisettrici degli angoli AOC, COB, BOD e DOA; tali bisettrici intersecano la circonferenza nei punti E, F, G, H rispettivamente. Congiungere questi punti con i vertici del quadrato: si ottiene un poligono di otto lati che è regolare in quanto gli angoli al centro degli otto triangoli in cui si scompone la figura sono tutti congruenti fra loro. Bisecando nuovamente gli angoli al centro dell’ottagono è possibile costruire il poligono regolare con 16 lati e poi di 32 e così via.
  • Costruzione di un esagono regolare inscritto in una circonferenza data di centro O.
Tracciare un diametro qualsiasi AB; con centro in A e raggio AO, tracciamo l’arco EF dove E ed F sono i punti di intersezione con la circonferenza e con la stessa apertura e centro in B tracciare l’arco CD con C e D punti di intersezione con la circonferenza. I triangoli AOE, EOC, COB, BOD, DOF, FOA sono equilateri e congruenti in quanto hanno i lati congruenti al raggio della circonferenza. Concludiamo che il poligono ADEBFC è un esagono regolare.
  • Costruzione di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza data.
Il metodo più rapido per tracciarlo è sfruttare la costruzione dell’esagono e unire tre suoi vertici non consecutivi. Infatti gli archi AC, CD, DA sono congruenti in quanto somma di archi congruenti.
  • Costruzione della sezione aurea di un segmento.

Dato un segmento AB, trovare il suo punto medio M (attraverso la costruzione dell’asse del segmento) e tracciare la circonferenza di centro B e raggio BM e la perpendicolare per B al segmento AB; denominare O il punto di intersezione fra la circonferenza e la retta perpendicolare.
Tracciare poi la semiretta AO e la circonferenza G’ di centro O e raggio OB: essa interseca la semiretta AO nei punti C ed E. Tracciare quindi la circonferenza di centro A e raggio AC e denominare S il punto di intersezione fra la circonferenza e il segmento AB; il segmento AS è la sezione aurea di AB.

Verifichiamo di avere ottenuto il risultato cercato. Per il teorema della secante e della tangente condotte dal punto A alla circonferenza G’ si ha che AE:AB =AB:AC; per la proprietà dello scomporre risulta che (AE –AB):AB =(AB –AC):AC. Osservando che AB =CE si ottiene che
AE-AB=AE-CE=AC=AS e quindi possiamo riscrivere l’ultima proporzione come AS:AB =SB:AS; da quest’ultima, scambiando medi ed estremi, risulta che AB:AS =AS:SB ovvero che AS è la parte aurea del segmento AB come si voleva.

  • Costruzione del decagono, pentagono, icosagono regolari inscritti in una circonferenza data.
La costruzione del decagono regolare inscritto in una circonferenza si basa sulla proprietà che il lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza.
La costruzione del pentagono regolare si ottiene costruendo il decagono regolare e congiungendo fra loro 5 vertici non consecutivi come nella figura a fianco.

Per quel che riguarda l’icosagono regolare, esso si ottiene procedendo a partire dal decagono regolare nello stesso modo utilizzato per avere l’ottagono a partire dal quadrato.