Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Formula di Wallis (Wallis formula)

Si dice formula di Wallis o prodotto infinito l’espressione

                      

                            
Essa ci fornisce uno sviluppo di π in prodotto di infiniti fattori ed è il più celebre risultato dell’Arithmetica infinitorum di John Wallis (1617-1703), eminente matematico inglese predecessore di Newton. Wallis diede i suoi contributi più importanti nel campo dell’analisi infinitesimale. Nella sua opera Arithmetica infinitorum (1655) sono visibili le tracce dell’influenza esercitata su di lui da Torricelli e Cavalieri. Altre pubblicazioni notevoli sono il Commercium epistolicum del 1658 e De Cicloide del 1659.
Della sua opera di analista è importante il carattere aritmetico delle dimostrazioni e la disinvoltura con cui nelle medesime si avvale dell’induzione, non dell’induzione completa ma di una vera e propria induzione sperimentale che gli permette di elevarsi a certe generalizzazioni delle più importanti formule, anche quando in realtà le ha dimostrate solo per qualche caso particolare. In verità queste generalizzazioni, anche se peccano dal punto di vista logico, sono per lo più giuste.
Dai lavori di Fermat, Cavalieri e altri Wallis sapeva che  rappresentava l’area sottostante al semicerchio e che pertanto tale area era uguale a .

 

Egli ne ricava  così un’uguaglianza che in simboli moderni si può scrivere

Wallis non diede risposta alla domanda su come fosse possibile ottenere tale risultato in seguito a una valutazione diretta dell’integrale basata su considerazioni infinitesimali, ma il suo metodo di induzione e interpolazione produsse l’interessante risultato della formula chiamata appunto di Wallis.
Dopo aver trovato il valore di       per parecchi valori positivi di n i primi dei quali erano

giungeva per induzione incompleta alla conclusione che il valore di questo integrale per un generico valore di n naturale era

 

Ma poiché l’esponente all’interno dell’integrale di  è frazionario sarà indispensabile estendere la definizione del simbolo fattoriale anche al caso di n frazionario.

Wallis compie questa  estensione  interpolando le note formule che ci danno il valore di

                               per p e q numeri naturali.

 

In base alla sua interpolazione egli ottiene vari risultati tra cui la seguente doppia disuguaglianza valida nel caso :

.

Dopo  tutte queste premesse si sente in grado di generalizzare la (*) anche al calcolo dell’integrale
 a secondo membro della (**)  ottenendo

Concludeva che da cui                 
Tenendo  conto della disuguaglianza precedente e del fatto che le radici tendono a 1 col crescere di n, Wallis ricava finalmente la formula

Questa è una notevole espressione per π, espressione che si può anche scrivere nella forma abbreviata

nella quale l’espressione a secondo membro si dice prodotto infinito.