Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

 

Poliedro duale (dual polyhedron)

Il duale di un poliedro è il poliedro avente per spigoli i segmenti congiungenti centri di facce adiacenti.

E’ evidente dalla definizione che non tutti i poliedri ammettono un poliedro duale: è necessario infatti che sia definito il centro delle facce del solido considerato. Inoltre non è detto che la spezzata che congiunge i centri di facce adiacenti delimiti una figura piana.
Se il poliedro duale esiste, il numero dei suoi vertici sarà ovviamente uguale al numero delle facce del poliedro di partenza (un vertice per ogni faccia), ed è facile osservare che il numero delle sue facce corrisponderà al numero di vertici del poliedro di partenza.
Cosa si può dire del numero di spigoli? (La formula di Eulero aiuta ad individuare la risposta).

I cinque solidi platonici ammettono tutti un poliedro duale, che a sua volta è un solido platonico. In particolare il tetraedro è duale di se stesso, mentre sono reciprocamente duali cubo e ottaedro, dodecaedro e icosaedro.

In generale i solidi semi-regolari o archimedei non ammettono un duale (a causa della seconda delle difficoltà segnalate) ma alcuni di essi, come ad esempio il cubottaedro, ne sono dotati.

E’ comunque possibile estendere la definizione di poliedro duale a tutti i solidi archimedei: il duale può infatti essere ottenuto inscrivendo il solido in una sfera e intersecando i piani tangenti in corrispondenza dei vertici. I tredici poliedri duali dei solidi archimedei si dicono solidi di Catalan*.