Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

 

Relazione binaria (binary relation)

Una relazione binaria su due insiemi non vuoti A e B è un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A×B.

Dunque gli elementi e sono in relazione se la coppia appartiene al sottoinsieme . La relazione tra i due elementi può essere rappresentata, anziché con la notazione , scrivendo più sinteticamente e leggendo ‘a è in relazione R con b ’.
L’insieme A è detto dominio e B è detto codominio della relazione.

La parola ‘relazione’ richiama l’idea di un legame tra due oggetti, che a prima vista è difficile da ritrovare nella definizione matematica di sottoinsieme del prodotto cartesiano. In realtà, la maggior parte delle volte, il sottoinsieme del prodotto cartesiano descritto attraverso la caratteristica degli elementi che ne fanno parte permette di ritrovare la definizione intuitiva di relazione. Inoltre, grazie alle rappresentazioni grafiche già introdotte per il prodotto cartesiano, è possibile illustrare in modo chiaro elementi e proprietà delle relazioni.

Ad esempio:
A = gruppo di amici B = insieme di animali domestici

ovvero:

Anziché elencare le coppie che appartengono alla relazione, possiamo visualizzarle con le rappresentazioni cartesiana e sagittale:

Altro esempio:
In questo caso l’unica rappresentazione grafica che illustra adeguatamente la relazione è la rappresentazione cartesiana:

Importanti proprietà delle relazioni binarie permettono di definire relazioni iniettive, suriettive, biettive, univoche o funzionali, ovunque definite o ancora le funzioni.

Un caso molto interessante di relazione si ottiene quando B = A: in questo caso si dice che la relazione è definita su un insieme A.
In questo caso la rappresentazione sagittale della relazione avviene a volte utilizzando una sola copia dell’insieme A, all’interno del quale una freccia che parte dall’elemento x e arriva sull’elemento y indica che x è in relazione con y (ma non il viceversa!). In particolare un elemento può essere in relazione con se stesso.

Esempio:
La relazione è rappresentata direttamente in figura: l’elemento v è in relazione con x e con se stesso, x è in relazione solo con y, z è in relazione solo con se stesso, t e w sono in relazione l’uno con l’altro, s non è in relazione con nessun elemento.

Le relazioni definite su un insieme A possono godere di alcune particolari proprietà, come le proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. In base alle loro caratteristiche, vengono poi individuati due importanti tipi di relazioni: le relazioni di equivalenza e le relazioni d’ordine.

E’ infine opportuno segnalare che (secondo definizioni più rigorose) un sottoinsieme è detto grafo, e si dice che una relazione tra due insiemi A e B è individuata dal dominio A, dal codominio B e da un grafo . Questa definizione ha il merito di non confondere il sottoinsieme di A×B con il legame tra gli elementi che esso stabilisce, anche se tale distinzione può presentare una maggior difficoltà di comprensione.