Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Decagono (Decagon)

Decagono è un poligono con dieci lati e dieci angoli.
Decagono regolare è un decagono con tutti i lati e gli angoli uguali; ciascun angolo ha ampiezza di 144° e ogni lato è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta al decagono stesso.

Sia AB il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di centro O; vogliamo dimostrare che AB è la parte aurea del raggio OB.
L’angolo AOB è di 36° essendo la decima parte di un angolo giro. Poiché il triangolo AOB è isoscele ed essendo il suo angolo al vertice di 36°, esso avrà gli angoli alla base di 72°.
Tracciata la bisettrice AP dell’angolo OAB, si ottiene il triangolo ABP: in esso l’angolo B è di 72°, l’angolo BAP di 36° e quindi l’angolo APB è di 72°; allora il triangolo risulta essere isoscele e AB = AP.
Anche il triangolo AOP è isoscele avendo gli angoli in A e in O di 36° per cui AP =OP . Si ha allora AB=AP=OP.
Dal momento che i triangolo isosceli APB e AOB sono simili avendo tutti gli angoli rispettivamente uguali, si ha che

OB : AB =AB : BP.

Poichè AB =OP concludiamo che OB:OP=OP:BP,

proporzione dalla quale si deduce che OP è la parte aurea del raggio OB e quindi che il lato AB del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio.

Detta l la misura del lato AB e quindi di OP ed r la misura del raggio OB la relazione trovata si può scrivere come .
Applicando le proprietà delle proporzioni si ottiene da cui risulta che

(non accettabile perché negativo) e
e quindi che il lato del decagono regolare è .


Servendoci delle proprietà viste possiamo dividere una circonferenza in dieci parti uguali e costruire il decagono regolare procedendo nel seguente modo: si tracciano i due diametri perpendicolari AA’, CC’ e la circonferenza di diametro OC e centro M; unito A con M e indicato con D il punto di intersezione di questa circonferenza con il segmento AM, si ha che AD è la parte aurea di OA e quindi AD è il lato del decagono regolare .
Se con apertura di compasso uguale ad AD partendo da A si interseca successivamente la circonferenza in B,E,F,G…. si divide questa in dieci parti uguali ottenendo il decagono.

La misura del lato del decagono si lega anche al calcolo delle funzioni trigonometriche relative all’angolo di 18°.

Se AOB è un angolo di 18°, disegnata la circonferenza trigonometrica di centro O e raggio AO =OB=1 e detto B’ il punto di intersezione della perpendicolare da B al raggio OA con la circonferenza risulta BOB’=36°.
La corda BB’ è quindi il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio 1 e dunque
BB’ = da cui

BC = sen 18° =