Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

 

Teorema di Ceva (Ceva’s theorem)

In un triangolo ABC, le congiungenti i vertici A, B, C con i punti X, Y, Z dei lati opposti passano per uno stesso punto F se e solo se

Un segmento che congiunge un vertice di un triangolo con un punto qualsiasi del lato opposto è detto segmento ceviano.
Il teorema di Ceva stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinché in un triangolo i ceviani AX, BY e CZ siano concorrenti, cioè si incontrino tutti e tre in un unico punto F.

Questo è un noto teorema della geometria elementare dimostrato per la prima volta dall’italiano Giovanni Ceva ( Milano 1647- Mantova 1734) nella sua opera del 1678 “De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio”.

In quel tempo mentre in Europa andavano sviluppandosi sempre più la geometria analitica, il calcolo infinitesimale e la teoria della probabilità, in Italia la matematica continuava a svilupparsi con una certa preferenza per la geometria.

Esso costituisce uno dei risultati più importanti della geometria del triangolo tra i tempi dei Greci e il diciannovesimo secolo e assieme al teorema di Menelao di Alessandria ha trovato applicazione nella costruzione degli algoritmi per il disegno assistito al calcolatore.

Immagine da http://www.lorenzoroi.net/geometria/Ceva.html

Dal teorema di Ceva segue immediatamente che le mediane AQ, BR e CP di un triangolo qualsiasi sono concorrenti in un punto (che sappiamo essere il baricentro): infatti essendo AQ, BR e CP i ceviani che andiamo a considerare in questo caso è immediato verificare che BQ/QC=1, CR/RA=1, AP/PB=1; risulta perciò che la condizione necessaria e sufficiente del Teorema di Ceva è verificata e dunque le tre mediane si incontrano in un unico punto F, il baricentro appunto.

Dal teorema di Ceva si riesce anche a dimostrare l’esistenza in un triangolo qualsiasi dell’ortocentro e dell’incentro seppur in maniera un poco più complessa di quanto visto per il baricentro.