Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Aritmogeometria (Polygonal numbers)

Aritmogeometria è l’uso, finalizzato ad ottenere conoscenze di tipo aritmetico, di un algoritmo consistente nel rappresentare i numeri naturali con configurazioni geometriche di punti. Tali configurazioni sono dette numeri figurati o poligonali.

L’aritmogeometria fu uno dei filoni di ricerca di Pitagora di Samo (572 circa a.C. – fine VI sec a.C.) e della sua scuola.
Scrive Diogene Laerzio in Vite dei filosofi: “Poiché ogni cosa nella natura appariva loro simile ai numeri, e i numeri apparivano primi tra tutto ciò che è nella natura, pensavano che gli elementi dei numeri fossero elementi di tutte le cose che sono, e che l’intero mondo fosse armonia e numero”.
E Aristotele nella Metafisica: “I Pitagorici dicono che da numeri sono composte le sostanze percepibili. … Essi dicono che il numero è le cose che sono, o almeno applicano i loro teoremi ai corpi, come se i numeri fossero dei corpi”.

Nell’Aritmosofia pitagorica:
1, la Monade rappresenta la Ragione, l’Uno, il principio primo, è considerato impari cioè né pari né dispari e geometricamente rappresenta il punto.
2, la Diade rappresenta la parte femminile, l’indefinito e illimitato, l’opinione (sempre duplice) e geometricamente la linea.
3, la Triade rappresenta la parte maschile, il definito e limitato e geometricamente il piano.
4, la Tetrade rappresenta la giustizia in quanto divisibile equamente da entrambe le parti.
5, la Pentade, rappresenta lo sposalizio poiché è la somma della parte femminile (2) e maschile (3), simboleggia la vita e il potere; il pentagramma è il simbolo dei pitagorici.
10, la Decade è il numero perfetto, la fonte e radice dell’eterna natura perché il 10 “contiene” l’intero universo essendo la somma di 1,2,3 e 4; esso veniva rappresentato con la tetractys, il triangolo equilatero di lato 4, sul quale veniva fatto il giuramento di adesione alla scuola pitagorica.

I Pitagorici chiamavano perfetto ogni numero che fosse uguale alla somma dei propri divisori compreso l’1 ma non il numero stesso;
es. 6 = 1 + 3 + 2; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Quelli che superavano la somma dei loro divisori erano chiamati eccessivi, mentre al contrario quelli che non la superavano erano chiamati difettivi. Dicevano amicali due numeri tali che ciascuno era uguale alla somma dei divisori dell’altro; per esempio 284 e 220 sono amicali dal momento che la somma dei divisori di 220 è 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284, mentre la somma dei divisori di 284 è 1+2+4+71+142=220.


I Pitagorici erano soliti rappresentare i numeri mediante punti sulla sabbia o mediante ciottoli e
classificavano i numeri a seconda delle forme che si ottenevano disponendo nei vari modi i punti
o i ciottoli che li rappresentavano; gli intimi legami che connettono il pensiero pitagorico con il concetto di numero sono bene illustrati dall’interesse per i numeri figurati.
Secondo Nicomaco di Gerasa (fine I secolo d.C.) mediante l’aritmogeometria i Pitagorici scoprirono semplici proprietà dei numeri figurati.

  • I numeri 1, 3, 6,10, … erano detti numeri triangolari perché i corrispondenti punti potevano essere disposti a triangolo. Il quarto numero triangolare, 10, era per i Pitagorici un numero privilegiato e perché aveva 4 punti su ogni lato e perché 4 era un altro numero favorito. Essi sapevano che un generico numero triangolare si ottiene sommando i primi n numeri naturali

.

  • I numeri 1, 4, 9 ,16, 25, … erano chiamati numeri quadrati perché, intesi come punti, potevano essere disposti in un quadrato. Per passare da un numero quadrato al successivo i Pitagorici usavano il seguente schema:

 

I punti situati a destra e al di sotto delle
linee rosse formavano quello che essi chiamavano un gnomone, parola che in origine a Babilonia denotava un bastone piantato verticalmente la cui ombra era usata per misurare il tempo mentre al tempo di Pitagora denotava la squadra da falegname.

In simboli, quello che essi vedevano è che vale a dire:
sottraendo da un quadrato il quadrato immediatamente precedente si ottiene uno gnomone.

Inoltre, partendo da 1 e aggiungendo il gnomone 3 e poi il gnomone 5, e così via ricavavano che:
un generico numero quadrato si ottiene sommando i numeri dispari, a partire dall’unità

.

Chiamavano oblunghi i numeri non primi che non erano quadrati.

  • Sommando due numeri triangolari consecutivi si ottiene un numero quadrato


Sempre secondo Nicomaco di Gerasa i Pitagorici lavoravano anche con numeri poligonali, come ad esempio numeri pentagonali, esagonali e così via.

  • Sapevano che i numeri pentagonali erano 1, 5, 12, 22, … , (in notazione moderna) e che un generico numero pentagonale si ottiene sommando i numeri della progressione aritmetica di ragione 3 e primo termine 1

.

  • Sapevano che i numeri esagonali erano 1, 6, 15, 28, …, (in notazione moderna) e che un generico numero esagonale si ottiene sommando i numeri della progressione aritmetica di ragione 4 e primo termine 1

Sembra che sia stato Ipsicle (II sec. a.C.) a stabilire un parallelo tra numeri poligonali e progressioni aritmetiche formulando la seguente regola generale:
un generico numero poligonale di n lati si ottiene sommando i termini della progressione aritmetica avente come primo termine 1 e ragione (n-2).