Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Ottagono

Asse radicale di due circonferenze (Radical axis or power line of two circles)

Si dice asse radicale di due circonferenze secanti la retta passante per i due punti di intersezione delle due circonferenze.

Date due circonferenze secanti  e  di equazione  e  sappiamo che il sistema costituito dalle due circonferenze ci fornisce le coordinate dei loro punti di  intersezione; d’altra parte, è noto che una qualunque combinazione lineare (somma di due equazioni moltiplicate per coefficienti numerici arbitrari) delle equazioni di un sistema è  un’equazione avente  ancora tra le soluzioni le stesse soluzioni del sistema.

Asse radicale di due circonferenze

Possiamo dunque affermare che,  indicati con A e B  i punti di intersezione delle due circonferenze,  la retta ottenuta  come differenza tra le equazioni delle due circonferenze (combinazione lineare ), dovrà necessariamente passare per A e B e sarà pertanto l’asse radicale delle due circonferenze. Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene quindi l’equazione dell’asse radicale che è
Se le due circonferenze sono tangenti esternamente o internamente, l’asse radicale passerà per il punto di tangenza.

Asse radicale di due circonferenze

Poiché il coefficiente angolare dell’asse radicale è   mentre l’equazione della retta congiungente i centri           e  delle due circonferenze è   

e quindi il suo coefficiente angolare è , possiamo concludere che l’asse radicale di due circonferenze è perpendicolare alla retta congiungente i  loro centri.
Queste considerazioni analitiche permettono di parlare di asse radicale di due circonferenze anche nel caso in cui le due circonferenze non abbiano punti comuni. L’asse radicale sarà sempre quella retta che risulterà perpendicolare alla congiungente i due centri e si otterrà sottraendo membro a membro le equazioni delle due circonferenze.

Asse radicale di due circonferenze

Nel caso di circonferenze concentriche non esiste l’asse radicale.

Sfruttando la definizione di potenza di un punto rispetto ad una circonferenza, possiamo dire che l’asse radicale di due circonferenze non concentriche è il luogo geometrico dei punti del piano di uguale potenza  rispetto alle due circonferenze.