Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Ottagono

Potenza di un punto (Power of a point)

Se da un punto P esterno a una circonferenza conduciamo una qualunque secante e indichiamo con A e B i punti in cui essa taglia la circonferenza diremo potenza del punto P rispetto alla circonferenza data il prodotto costante della lunghezza dell’intera secante e della sua parte esterna: Pot P = PA • PB.

Potenza di un Punto

Si ricorda che, per il teorema delle tangenti, i segmenti di tangente condotti da un punto esterno ad una circonferenza sono congruenti; pertanto  
Per dimostrare che il prodotto  risulta costante (cioè non dipende dalla secante considerata) utilizziamo il teorema della secante e della tangente: esso afferma che, condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna; si ha quindi che  dove con d e r si sono indicati rispettivamente la distanza di P dal centro C della circonferenza e il raggio della circonferenza.
Estendiamo la definizione di potenza di un punto rispetto ad una circonferenza anche a punti appartenenti alla circonferenza o interni ad essi defininendola come  Da tale definizione è  evidente che la potenza di un punto rispetto ad una circonferenza è positiva, nulla o negativa a seconda che il punto sia esterno alla circonferenza, sulla circonferenza o interno alla circonferenza.

Potenza di un Punto

Se stiamo lavorando in un sistema di coordinate cartesiane in cui P ha coordinate  e la circonferenza ha equazione   , avremo che
 e   da cui

Possiamo  concludere che
 la potenza di un punto rispetto a una circonferenza si ottiene sostituendo la x e la y dell’equazione della circonferenza con l’ascissa e l’ordinata  del punto dato.
Considerate due circonferenze distinte non concentriche  e , se  è un punto del piano avente la stessa potenza rispetto alle due circonferenze, per quanto appena visto, risulterà che

cioè  ; poichè  è  l’equazione dell’asse radicale delle due circonferenze, possiamo concludere che il punto  appartiene all’asse radicale delle due circonferenze.
Viceversa, se un punto soddisfa l’equazione dell’asse radicale di due circonferenze, allora il punto avrà la stessa potenza rispetto alle due circonferenze.
Possiamo concludere che l’asse radicale di due circonferenze è il luogo geometrico dei punti del piano di uguale potenza  rispetto alle due circonferenze.

Potenza di un Punto

Come conseguenza della definizione di potenza di un punto rispetto a una circonferenza si ha che, date due circonferenze, ogni punto dell'asse radicale ad esse esterno gode della proprietà caratteristica che i segmenti di tangente alle circonferenze da esso condotti sono congruenti.