Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

Prodotto cartesiano (cartesian product)

Dati due insiemi A e B, il loro prodotto cartesiano A×B è l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate (x; y), dove il primo elemento x appartiene ad A, mentre il secondo elemento y appartiene a B:

René Descartes

Il prodotto cartesiano prende il nome da René Descartes (noto come Cartesio), che per primo lo introdusse nella propria formulazione della geometria analitica: il più famoso esempio di prodotto cartesiano è il piano, pensato come prodotto R×R.

Nella definizione è importante osservare che con l’espressione ‘coppie ordinate’ si intende che il primo elemento della coppia (x; y) deve necessariamente appartenere al primo insieme del prodotto cartesiano, e analogamente dicasi per il secondo; pertanto il prodotto B×A è diverso da A×B.
Se uno dei due insiemi è vuoto, anche il loro prodotto cartesiano è vuoto.
La definizione di prodotto cartesiano può essere facilmente generalizzata al caso di più di due insiemi.

Se A e B sono due insiemi finiti, qual è la cardinalità di A×B, cioè quanti sono gli elementi che costituiscono il prodotto cartesiano? Per rispondere alla medesima domanda nel caso in cui A o B abbiano infiniti elementi occorrerebbe approfondire il concetto cardinalità.

A×B è rappresentabile in diversi modi: tali rappresentazioni possono comunque essere esaustive solo se entrambi gli insiemi A e B sono finiti; altrimenti, attraverso la visualizzazione di alcuni elementi, si suggeriscono le caratteristiche dell’intero insieme.

Osserviamo, in un esempio, quattro tipi di rappresentazione; considerati gli insiemi e , il loro prodotto cartesiano può essere descritto tramite:

1) Elencazione degli elementi

2) Tabella a doppia entrata

3) Grafico cartesiano

4) Diagramma sagittale

Alcune di queste rappresentazioni diventano particolarmente significative per visualizzare le relazioni e le loro proprietà.