Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

 

Numero d’oro (golden number)


Il numero irrazionale = 1,618033….. è noto come numero d’oro ed è indicato con la lettera greca φ (fi).

I “numeri d’oro” compaiono in diversi contesti (per esempio in chimica* per caratterizzare le soluzioni colloidali d’oro, oppure in astronomia per determinare la data* della pasqua), ma il numero d’oro della matematica sembra essere davvero speciale: ha la sorprendente caratteristica di essere rintracciabile non solo in aritmetica, algebra e geometria, ma anche in natura e nell’arte. Non a caso questo particolare numero è fondamentale nel definire uno dei rapporti tra grandezze più famosi: il rapporto aureo.

Il numero d’oro è irrazionale algebrico (a differenza dell’altro famoso numero individuato da una lettera greca - π, il pi greco - che è un numero irrazionale trascendente): φ  è infatti soluzione dell’equazione .

 

Rimando al lavoro di Federico Peiretti “Il numero d’oro” presente nelle pagine del Polymath per una presentazione di φ;  ricca di notizie storiche, approfondimenti e legami con altri importanti oggetti matematici (successione di Fibonacci, frazioni continue, poligoni ecc.) e non matematici (conchiglie, costruzioni architettoniche, dipinti ecc.), nonché una ricca bibliografia e sitografia.

Mi limito qui a presentare una proprietà che risulta interessante nel trattare il rettangolo aureo.

 

Si consideri la successione decrescente:

φ,  1,  φ-1,  2-φ,  2φ-3,  5-3φ,  ….

costruita a partire dai primi due termini secondo la legge:  (ogni termine è uguale alla differenza dei due precedenti). Ebbene, il rapporto tra un qualsiasi termine della successione e il successivo è sempre uguale al numero φ.

Questa proprietà è a prima vista sorprendente, ma in realtà non fa altro che tradire il legame esistente tra il numero d’oro e le successione di Fibonacci.

In effetti per dimostrare quanto affermato è necessario ricorrere alla successione di Fibonacci; mi limiterò qui a una semplice verifica per alcuni casi, ad esempio:

  • = φ     infatti    è una delle proprietà del numero d’oro
  •   infatti ponendo a denominatore comune  e sommando i termini simili  si ottiene l’uguaglianza vera .