Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

 

Rapporto aureo (golden ratio)


Il rapporto tra due grandezze omogenee è detto aureo se è uguale al numero d’oro φ.

Poiché il numero che esprime questo particolare rapporto è un numero irrazionale, due grandezze aventi rapporto aureo saranno necessariamente incommensurabili.

Un classico modo per ottenere segmenti in rapporto aureo è quello di operare una particolare suddivisione di un segmento detta sezione aurea.

In geometria sono davvero numerosi gli esempi di figure che nascondono segmenti in rapporto aureo; eccone alcune:

Sono tra loro in rapporto aureo i lati di un triangolo isoscele avente angolo al vertice metà dell’angolo alla base (cioè di 36°). Ciò si dimostra in modo immediato tracciando la bisettrice dell’angolo alla base, compiendo alcune semplici considerazioni geometriche sui triangoli simili e ricordando il legame tra rapporto aureo e sezione aurea.
Da questo particolare triangolo discendono i legami di pentagono e decagono regolare con il numero d’oro, nonché il rapporto aureo esistente tra base e lato di un triangolo isoscele avente angolo al vertice doppio dell’angolo alla base.

Tracciando le diagonali di un pentagono regolare si ottiene un pentagono stellato o pentagramma; la colorazione usata mette in risalto i cinque triangoli che formano le punte del pentagramma e il pentagono regolare più piccolo che si ottiene all’interno della figura. Ebbene il rapporto tra lati di ciascun triangolo è aureo, così come il rapporto tra diagonale e lato del pentagono.
Il rapporto tra il lato del pentagono esterno e il lato di quello interno non è più aureo, ma è comunque legato al numero d’oro: è infatti uguale a φ2.

Nel decagono regolare è aureo il rapporto tra il raggio della circonferenza circoscritta al decagono e il lato dello stesso.

Nella tassellazione non periodica di Penrose la costruzione dei tasselli è legata all’uso dei due triangoli aventi lati in rapporto aureo.

Anche in anatomia, natura, musica*, pittura e architettura non mancano casi nei quali è possibile osservare il ricorrere dei rapporti aurei.