Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

 

Rettangolo aureo (golden rectangle)

Un rettangolo è detto aureo se i suoi lati sono in rapporto aureo.

I rettangoli aurei sono caratterizzati da una particolare proprietà: se si scompongono in un quadrato e un rettangolo, quest’ultimo sarà a sua volta necessariamente un rettangolo aureo, simile al rettangolo di partenza.

Tale procedimento può quindi essere reiterato, arrivando a costruire una successione di rettangoli aurei e una di quadrati aventi lati in rapporto aureo.

Questa regolarità è dovuta alla particolare successione che si viene a creare tra le lunghezze dei lati dei rettangoli via via ottenuti.

Tracciando un arco di circonferenza all’interno di ciascun quadrato si ottiene la spirale aurea, che approssima molto bene la spirale logaritmica o equiangolare: ingrandita o ridotta prosegue perfettamente la linea della spirale tracciata.

Il rettangolo aureo possiede un interessante legame con la geometria solida: i vertici di tre rettangoli aurei congruenti che si intersecano perpendicolarmente nello spazio sono i vertici di un icosaedro regolare (e quindi anche punti centrali delle facce del poliedro duale dell’icosaedro, il dodecaedro regolare).

E’ complicato costruire un rettangolo aureo? La costruzione con riga e compasso a partire dal lato minore del rettangolo è piuttosto semplice.

Può essere interessante analizzare il problema anche da un punto di vista più concreto, cioè a partire da un foglio di carta: come ottenere il rettangolo aureo più grande possibile a partire da un foglio di carta quadrato?

Ecco i passi da seguire, figura per figura:

  • piegare il foglio a metà, individuando il punto C, e riaprire il foglio;
  • piegare il foglio lungo la congiungente A e C, e riaprire;
  • portare il lato AB sulla piega AC, realizzando la piega AD, e riaprire;
  • ebbene, AB e BD sono in rapporto aureo; piegando ancora DE è possibile visualizzare il rettangolo ABDE, il più grande rettangolo aureo che possiamo ottenere dal foglio quadrato.

La dimostrazione richiede un po’ di geometria e un po’ di proporzioni, ed è a mio avviso interessante: provateci, la ‘geometria delle pieghe’ può essere davvero sorprendente!

E se il foglio fosse rettangolare?