Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

arco

Scodella di Galileo (Galileo's bowl)

Si chiama scodella di Galileo il solido ottenuto come differenza tra un  cilindro circolare retto equilatero (ossia avente il raggio di base r uguale all’altezza r) e la semisfera in esso inscritta.
La scodella di Galileo è equivalente al cono che ha come base e come altezza rispettivamente la base e l’altezza del cilindro.

scodella

Luca Valerio (1552 - 1618), professore all’università di Roma ai primi del 1600, dimostrò che la scodella è equiestesa al cono e si servì di questo risultato per calcolare il volume della sfera .

cavalieri

Bonaventura Cavalieri,
1598 - 1647

Il chiamarsi  scodella di Galileo deriva dal fatto che Galileo la riporta in uno dei suoi  scritti a proposito di argomenti trattati da  Bonaventura Cavalieri; questi nacque a Milano nel 1598 e studiò a Pisa. Discepolo  e amico di Galileo va annoverato tra i migliori seguaci del grande maestro; Cavalieri era frate dell’ordine dei Gesuati e morì nel 1647 a Bologna.
Nel 1635, nel pieno del rinnovato fervore per le scienze, pubblicò a   Bologna, dove era professore, la sua opera capitale Geometria indivisibilibus  continuorum nova quadam ratione promota, uno dei più importanti libri di matematica di quel periodo.

L’idea direttrice di Cavalieri  consiste nel considerare una generica area piana come costituita dall’infinità di corde intercettate entro l’area stessa da un sistema di rette parallele e un solido come costituito dall’infinità di sezioni sottilissime intercettate entro esso da un sistema di piani paralleli; ciascuna di queste corde o di questi fogli è,  secondo la nomenclatura di Cavalieri, un indivisibile.

Da  questa idea Cavalieri ricava il seguente principio:
Se due aree piane tagliate da un sistema di rette parallele intercettano sopra ognuna di esse due corde uguali, le due aree sono uguali; se intercettano corde che hanno tra loro un rapporto costante  anche le due aree hanno tra loro questo rapporto.
Se due volumi tagliati da un sistema di piani paralleli intercettano sopra ognuno di essi sezioni uguali, anche i due volumi sono uguali; se intercettano sezioni che stanno tra loro in rapporto costante anche i due volumi stanno in questo rapporto.
In base a questo principio egli riesce a ricondurre la determinazione di aree e volumi incogniti ad aree e volumi noti.

Cavalieri, disinvolto nell’affrontare i problemi senza curarsi troppo del rigore, aveva inviato nel 1634 a Galileo i primi cinque  libri della Geometria chiedendogli consiglio e un giudizio. La risposta di Galileo è andata perduta, ma le riserve di Galileo furono riprese e incorporate nei suoi
Discorsi e ragionamenti sopra due nuove scienze, opera pubblicata nel 1638.
L’argomento riguarda proprio la famosa controversia detta della “scodella”, figura che Galileo considera proprio durante il procedimento che segue per ottenere il volume della sfera.
Salviati, che nel dialogo impersona Galileo, espone la costruzione della scodella e la dimostrazione del fatto che il cono ha lo stesso volume della scodella; la dimostrazione è basata sugli indivisibili, idea che sarà poi sviluppata nel calcolo integrale moderno.
Il ragionamento di Galileo, esposto in forma moderna  e riferito alla figura, è sostanzialmente il seguente. Consideriamo un semicerchio avente per diametro il segmento AB e sia OF il raggio perpendicolare al diametro stesso; sia ABDE il rettangolo avente AB come base e avente il lato opposto DE tangente al semicerchio. Facendo ruotare il semicerchio attorno alla retta cui appartiene OF si ottiene una semisfera di diametro AB; lo stesso movimento di rotazione fa descrivere al rettangolo ABDE il cilindro avente come asse la stessa retta  cui appartiene OF.

scodella

Supposto noto il volume del cilindro, è chiaro che il volume della sfera sarà noto quando è noto il volume della scodella compresa tra il cilindro e la sfera.
Egli considera il cono che ha vertice O nel centro della sfera e come cerchio di base quello descritto dal lato DE del rettangolo. Si verifica che la scodella ha lo stesso volume del cono perché se si tagliano il cono e la scodella con un piano perpendicolare all’asse di rotazione si ottengono aree equivalenti. Tagliando il cono si ottiene il cerchio di diametro HL e tagliando la scodella la corona circolare  individuata dalle circonferenze di centro P e raggi rispettivi PG e PI .

Galileo, dopo aver dimostrato che le due aree sono equivalenti, non dimostra che i due solidi sono equivalenti, ma rimanda per la dimostrazione alla duodecima proposizione  del libro secondo “De centro gravitatis solidorum” di Luca Valerionuovo Archimede dell’età nostra.

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Quello che invece meraviglia Galileo è che le due superfici, diminuendosi sempre egualmente, vadano a terminare l’una in un solo punto e l’altra nella circonferenza di un cerchio, maggiore anco di qualsivoglia grandissimo.

scodellaE ancora prima, nel trattato, spiega in maniera più approfondita il motivo di meraviglia: cioè, che se intenderemo il segante piano successivamente inalzato verso la linea AB, sempre le parti de i solidi tagliate sono eguali, come anco le superficie, che son basi loro, pur sempre sono eguali; e finalmente, alzando e alzando tanto li due solidi (sempre eguali) quanto le lor basi (superficie pur sempre eguali), vanno a terminare l'una coppia di loro in una circonferenza di un cerchio, e l'altra in un sol punto, ché tali sono l'orlo supremo della scodella e la cuspide del cono. Or mentre che nella diminuzione de i due solidi si va, sino all'ultimo, mantenendo sempre tra essi la egualità, ben par conveniente il dire che gli altissimi ed ultimi termini di tali menomamenti restino tra di loro eguali, e non l'uno infinitamente maggior dell'altro: par dunque che la circonferenza di un cerchio immenso possa chiamarsi eguale a un sol punto.

Quello che meravigliava Galileo era che si potesse avere un’area, quella della corona circolare, che va a zero nonostante una sua dimensione non si annulli, mentre nel caso del cerchio secato dal piano sul cono la cosa appare evidente perché il raggio tende a zero.
La problematica non era di poco conto, ma ormai erano state impostate le basi perché il dibattito su indivisibili, continuo, infinito e infinitesimi si potesse sviluppare nei secoli successivi attraverso i contributi di tutti i maggiori filosofi e matematici. 

 

Vedi la dimostrazione in Cabri 3D di Giuseppe Iaquinto.