Dadi

Federico Peiretti

 

- La faccenda, disse Panurgo, sarebbe sbrigata più in fretta con tre bei dadi.
- No, rispose Pantagruele, questa sorte è fallace, illecita e grandemente scandalosa. Non ve ne fidate mai. Il maledetto libro: Il Passatempo dei dadi fu inventato, sono ormai molti anni, dal nemico demonio in Acaia presso Bura. Là, davanti alla statua di Ercole Buraico, come ora, in parecchi luoghi, molte anime semplici esso demonio faceva errare e cadere nelle sue reti. Voi sapete come Gargantua, mio padre, l'abbia proibito in tutti i suoi reami e bruciato con tutti gli stampi e disegni e sterminato e soppresso e abolito come peste pericolosissima.

François Rabelais, Gargantua e Pantagruel

The Demon of dice. From a pamphlet How the Die Was Invented,
attributed to Albrecht Dürer, printed by Conrad Kacherofen, Leipzig, 1487.

Indice

1. La storia
2. La matematica
3. I giochi
4. In libreria e in rete

1. La storia

"Il dado è tratto" annunciò Giulio Cesare ai suoi soldati, passando il Rubicone. Non aveva navi da bruciare, ma l’immagine era altrettanto forte, tra soldati per i quali i dadi erano il gioco più popolare: non si poteva più tornare indietro, la decisione presa era irrevocabile. I dadi, rappresentazione anche ludica del fato e della sorte, hanno origini antiche. Secondo Sofocle i dadi da gioco ed anche gli scacchi sarebbero stati inventati da Palamede, durante l'assedio di Troia.

 

Achille e Aiace che giocano a dadi, anfora, circa 540 a. C., Museo Etrusco Gregoriano, Roma.

Erodoto attribuisce invece la loro invenzione ai Lidi, al tempo del regno di Atys. Esemplari simili a quelli moderni, sono stati ritrovati in tombe egizie di cinquemila anni fa. Era il gioco più diffuso al tempo dei greci e dei romani, quando Nerone si giocava immense fortune ai dadi e l'imperatore Claudio scriveva addirittura un libro, andato purtroppo perduto, dedicato ai dadi.

Le varie forme di un dado. Immagine da
http://www.dicecollector.com/diceinfo_how_many_shapes.html

Il dado cubico è sempre stato il più diffuso, anche se tutti e cinque i solidi regolari possono essere usati per il gioco. Il tetraedro è il meno usato poiché mette in gioco soltanto quattro numeri e non rotola molto bene, l’ottaedro è stato il più usato, dopo il cubo naturalmente, mentre il dodecaedro e l’icosaedro sono, come osservò Dudeney, troppo “rotondi e rotolano come palle, vennero usati nel passato principalmente da maghi e fattucchiere nelle loro arti divinatorie.

Il terribile destino dei giocatori di dadi, attribuito ad Albrecht Dürer,
stampato da Conrad Kacherofen, Leipzig, 1487

Nel Medioevo si tentò inutilmente, con pene severe (tratti di fune, colpi di verga e confisca dei beni) di scoraggiare i giocatori d'azzardo. Il gioco dei dadi contagiò tutti, anche il clero e sorsero perfino le corporazioni dei fabbricanti di dadi e le scuole per giocatori, le Scholae Deciorum, la più famosa delle quali si trovava a Parigi.

 

2. La matematica

 

Icona bizantina del dodicesimo secolo, particolare: le guardie giocano ai dadi il mantello del Cristo, ai piedi della croce.

Girolamo Cardano, grande matematico del Cinquecento, accanito giocatore d'azzardo, scrive nella sua autobiografia: "Il gioco dei dadi mi ha procurato gravi danni, visto che l'ho insegnato ai miei figli, e la casa era spesso aperta ai giocatori, né altra attenuante ho per questo se non quella, piccola, della povertà dei miei natali e di una certa attitudine a questo tipo di abilità". E furono naturalmente i matematici ad approfondire lo studio dei dadi, scoprendo che la teoria delle probabilità era ben più complessa di quanto non potesse immaginare un giocatore ingenuo.
Uno dei primi problemi notati dai giocatori di dadi, all’apparenza in contrasto con il senso comune, riguardava il lancio di tre dadi con i quali era più frequente ottenere 10 o 12 piuttosto che 9 e 11, nonostante ciascuno dei quattro numeri potesse uscire in sei modi, come risultato della somma di tre numeri:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4
11 = 1 + 4 + 6 = 1 + 5 + 5 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4
12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 3 + 6 = 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 4

Il problema, analizzato da Fred Schuh, nel suo libro The Master Book of Mathematical Recreations (uno dei primi riferimenti per chi si occupa di matematica ricreativa), arrivò all’attenzione di Galileo il quale osservò che le sei somme non esaurivano tutti i casi possibili. Ad esempio, 3 – 3 – 3 può uscire soltanto in un modo, quando tutti e tre i dadi mostrano, in alto, la faccia segnata con il 3, mentre la combinazione 1 – 4 – 4 può arrivare in tre modi diversi, poiché 1 si può trovare su uno qualsiasi dei tre dadi e addirittura in 6 modi diversi, cioè 3!, la combinazione 1 – 2 – 6.

Scommessa al gioco dei dadi, dal Trattato di aritmetica di Filippo Calandri, Firenze, Sec. XV – Firenze, Biblioteca Riccardiana

In pratica dobbiamo distinguere fra 216 casi diversi e non fra 56, come risulterebbe dal ragionamento di giocatori poco matematici. Dei 56 casi, 20 risultano infatti come combinazioni di numeri tutti diversi fra loro, 30 con due numeri uguali e uno diverso da questi due e 6 combinazioni di tre numeri uguali. Questo implica quindi, come somma totale delle combinazioni:

20 x 6 + 30 x 3 + 1 x 6 = 216

In conclusione, la probabilità di ottenere 9 o 12 non è 6/56 ma 25/216, mentre la probabilità di ottenere 10 oppure 11 è leggermente più alta, 27/216 = 1/8.
Ed è ancora un altro giocatore, nel 1654 il Cavalier de Méré, a sottoporre al matematico, il suo amico Blaise Pascal, alcuni problema riguardanti il gioco dei dadi.

Valentin de Boulogne, Soldati che giocano a carte e a dadi, 1620/22

Uno di questi problemi era il seguente: "Se voglio fare 6 con il lancio di un dado devo chiedere almeno 4 lanci per avere più probabilità di vincere che di perdere. Se invece voglio fare un doppio 6 con il lancio di due dadi, non è più sufficiente che chieda 24 lanci, come sembrerebbe logico, ma ho verificato che devo farne di più per essere sicuro di vincere". Le considerazioni di de Méré si basavano semplicemente sulla sua grande esperienza di gioco, ma anche un certo ragionamento può trarre in inganno: un dado può cadere in 6 modi diversi e 4 lanci corrispondono ai 4/6, cioè ai 2/3, dei lanci possibili. Due dadi possono cadere in 36 modi diversi e 24 corrisponde proprio ai 2/3 di 36. La risposta intuitivamente sembra quindi che debba essere 4 e 24 il numero minimo di lanci necessari per essere sicuri di vincere. In pratica però, con il lancio di due dadi accadeva che 24 lanci non fossero sufficienti per avere una probabilità di vincere superiore a quella di perdere. Questo de Méré lo aveva verificato nella pratica del gioco e risultava per lui inspiegabile.

Pascal lo invitò semplicemente a calcolare meglio le probabilità. Nel caso di un dado, i sei risultati possibili hanno la stessa probabilità di presentarsi. Al primo lancio abbiamo 6 casi possibili, uno solo favorevole e 5 sfavorevoli. La probabilità di vincere è

Al primo lancio è quindi maggiore la probabilità di perdere di quella di vincere.
Al secondo lancio sempre di un solo dado, se abbiamo perso al primo, abbiamo 36 casi possibili, 25 sfavorevoli e 36 – 25 = 11 casi favorevoli. La probabilità di vincere è sempre inferiore a quella di perdere:

Al terzo lancio, se non abbiamo ancora vinto, abbiamo 216 casi possibili, 125 sfavorevoli e 216 – 125 = 91 casi favorevoli. La probabilità di vincere è ancora inferiore a quella di perdere:

Al quarto lancio, abbiamo 1 296 casi possibili, 625 sfavorevoli e 1 296 – 625 = 671 casi favorevoli. I casi favorevoli superano finalmente i casi sfavorevoli e la probabilità di vincere risulta maggiore di quella di perdere:

Ripetiamo lo stesso ragionamento per il lancio dei due dadi. Al primo lancio abbiamo 36 casi possibili, 35 sfavorevoli e 36 – 35 = 1 casi favorevoli. La probabilità di vincere è

Al secondo lancio, la probabilità di vincere è:

Proseguendo in questo modo, al ventiquattresimo lancio, si verifica che la probabilità di vincere è ancora inferiore a quella di perdere:

Al venticinquesimo lancio la probabilità di vincere diventa maggiore di quella di perdere.

Il calcolo esatto delle probabilità era quindi sufficiente per risolvere il problema di de Méré. Proprio dal gioco dei dadi e dalla soluzione di questi problemi, nasce la moderna teoria del calcolo delle probabilità. Pascal infatti informò Pierre de Fermat e Christian Huygens, sui suoi risultati, ottenuti dalle osservazioni, scrisse, di un giocatore “molto intelligente, ma non matematico”. Furono proprio i loro studi i primi fondamenti matematici del calcolo delle probabilità.

Giuseppe Maria Crespi, Giocatori di dadi, 1740
Museo Civico, Bologna

Quello che abbiamo detto vale naturalmente per dadi regolari, ma sovente i bari aumentano le probabilità a loro favore, con l'uso di dadi truccati. Si tenga presente, a questo proposito, che nei dadi moderni la somma dei numeri sulle facce opposte è sempre uguale a sette e che i dadi sono costruiti in modo che le facce 1, 2 e 3, se le teniamo rivolte verso di noi, siano sistemate in senso antiorario.
Poiché di un dado si vedono soltanto tre facce per volta, se ne può costruire uno che abbia lo stesso numero sulle due facce opposte, quindi soltanto tre numeri diversi, ma che sembri regolare quando viene lanciato sul tavolo. Un giocatore esperto si accorgerà del trucco poiché, in questo caso, non tutti i numeri girerebbero nel senso giusto, cioè antiorario. Altri trucchi più semplici, usati dai bari, sono l'inserimento di un pezzettino di piombo nel dado, al di fuori del suo centro di gravità. Il peso del metallo favorirà in questo modo l'uscita di un determinato numero. Allo stesso scopo possono servire dadi con alcune facce un po' convesse, in modo che restino favorite quelle piatte, oppure con qualche spigolo smussato o dadi con facce leggermente rettangolari.

 

 

3. I giochi

Bartolomé Esteban Murill,
Ragazzi che giocano a dadi, 1668 - 1672

La faccia nascosta

Le regole che abbiamo visto sul modo di disporre i numeri sulle facce dei dadi, ci possono consentire una prova di grande effetto: data una pila di tre o più dadi diventa facile indovinare il numero nascosto sulla faccia superiore di ogni dado. Ad esempio, provi il lettore a scoprire il numero nascosto sulla faccia superiore dei tre dadi di figura.

I dadi incollati

Tre dadi identici vengono incollati uno sull’altro, come indicato in figura. Se il loro sviluppo è quello indicato nella figura a destra, qual è la somma dei numeri che compaiono sulle facce incollate ?

Un gioco di prestigio

Sono necessari tre dadi e si chiede che vengano lanciati, senza che il “prestigiatore” li possa vedere. Quindi si chiede a chi ha lanciato i dadi di moltiplicare i punti del primo dado per 2 e di aggiungere 5. Successivamente deve moltiplicare il risultato ottenuto per 5 e aggiungere i punti del secondo dado. Infine deve moltiplicare per 10 il nuovo risultato e aggiungere i punti del terzo dado.
Se viene comunicato al “prestigiatore” il risultato finale, questi senza vedere i dadi, è in grado di dire quali sono i punti su ognuno dei tre dadi. Com’è possibile?
Un esempio: se sono usciti 1, 3 e 6, come in figura, il risultato finale sarà 386, dal quale si può risalire ai punti dei tre dadi.

Rolling dice

Sono necessari un dado e una scacchiera 3 x 3, disegnata su un foglio di carta. Le caselle devono essere numerate come in figura e le loro dimensioni devono essere identiche a quelle della faccia del dado. Quest'ultimo dev'essere collocato al centro della scacchiera, con 1 in alto. Il dado può essere ruotato di un quarto di giro verso l'alto, verso il basso, a destra oppure a sinistra, ma non in diagonale. Si tratta di ruotare il dado in modo che finisca sulla casella 7, con il 6 in alto e con il minor numero possibile di mosse.

Craps

 

Tavolo da Craps a Las Vegas

Uno dei più diffusi giochi d'azzardo, proibito nei tempi passati, è il craps. Arriva dalla Gran Bretagna e si gioca in due, con due dadi. Il Craps è un gioco complicato. Quelle che seguono ne sono le regole molto semplificate.
I giocatori, per stabilire chi debba giocare per primo, lanciano ognuno un dado e, se necessario, ripetono il lancio finché un giocatore non ha un numero pari e contemporaneamente l'altro un numero dispari. Gioca per primo chi ha ottenuto il numero pari. Ad alta voce egli deve dire i punti che intende prendere come punto di gioco, scegliendolo tra 5, 6 , 7 , 8 o 9. Se esce il numero scelto vince la partita, se esce invece un craps egli ha perso. Per craps si intende uno dei numeri collegati ai punti di gioco, ad esempio secondo la tabella seguente:

punto di gioco craps
5 o 9 2, 3 o 11
6 o 8 2, 3, 11, 12

In questo caso il 7 non è collegato ad alcun craps.
Se al lancio dei dadi esce il numero scelto, il primo giocatore ha vinto, ma se fa un craps ha perso.
Nel caso in cui non esca né il punto di gioco né il craps i dadi passano all'avversario, per il quale i craps non hanno valore. Se fa il punto di gioco ha vinto, altrimenti ripassa i dadi al primo giocatore e la partita prosegue finché uno dei due non fa il punto di gioco.

 

Numeri e dadi

Quale numero dev’essere segnato dopo il terzo dado?

 

Il gioco montenegrino

E' un gioco proposto da uno dei massimi esperti di giochi matematici, l'americano Henry E. Dudeney (1847 - 1930), il quale afferma che era un tempo molto popolare fra gli abitanti del Montenegro.
Si gioca in 2 con 3 dadi.
I giocatori, prima di lanciare i tre dadi, devono dichiarare una coppia di numeri dispari (maggiori di 3).
Vince il giocatore che ottiene, con i tre dadi, un punteggio corrispondente a uno dei due numeri dichiarati in precedenza.
Se entrambi ottengono un punteggio vincente si ripete la prova.
Immaginiamo, ad esempio, che un giocatore abbia scelto i numeri 7 e 15 e l'altro 5 e 13. Il primo giocatore lancia i tre dadi e vince se fa 7 oppure 15, a meno che il secondo giocatore riesca a fare 5 oppure 13.
Domanda: quali coppie diverse di numeri dispari devono scegliere i due giocatori per avere esattamente la stessa probabilità di vincere?

Tibetani che giocano a Sho, un gioco in cui ogni giocatore lancia i dadi per determinare il movimento su un percorso segnato da conchiglie. Un gioco che ricorda i giochi dell'oca, ma se consideriamo anche questi come giochi di dadi, allora l'elenco si allunga all'infinito, con tutti i giochi in cui sono i dadi a decidere il destino dei giocatori: dal monopoli al backgammon.
Immagine da http://www.harrerportfolio.com/Sho.html

Zanzibar

Un gioco d'azzardo, diffuso un tempo in tutti i porti e i quartieri malfamati, e sempre vietatissimo, era lo Zanzibar.
Si gioca in 2 o più giocatori, con 3 dadi.
Gioca per primo chi ottiene il punteggio più alto nel lancio di un dado. In seguito il vincitore di ogni giro inizierà il giro successivo.
Scopo del gioco fare "Zanzibar", ottenere cioè tre facce uguali, ad esempio tre 1, tre 4 oppure tre 6.
Chi gioca per primo può decidere di lanciare i dadi, secondo la sua convenienza, una, due o tre volte, riprendendoli tutti o in parte. Gli altri giocatori dovranno rispettare il numero dei lanci stabilito dal primo giocatore. Se, ad esempio, li ha lanciati due volte, li potranno lanciare soltanto una o due volte al massimo.
Vince chi fa Zanzibar oppure, se ci sono più giocatori che fanno Zanzibar, chi ha ottenuto la combinazione migliore, tenendo presente che gli Zanzibar vanno, per importanza, da tre 1 a tre 2: tre 1, tre 6, tre 5, tre 4, tre 3, tre 2.
Ad esempio, lo Zanzibar di 1 risulta superiore allo Zanzibar di 6 che, a sua volta, superiore allo Zanzibar di 5.
Se nessun giocatore fa Zanzibar, vince chi ha il punteggio più alto, contando i punti in questo modo:
ogni 1 vale 100 punti, ogni 6 vale 60 punti e per gli altri vale il punteggio indicato sulla faccia: 5, 4, 3 e 2 valgono rispettivamente 5, 4, 3 o 2 punti. Ad esempio, se un giocatore scopre 1, 4 e 6 conterà 164 punti.

 

Carnival game

Tavolo del Carnival game

Questo gioco è stato inventato da Sam Loyd, il grande esperto in giochi matematici americano, ed era, un tempo, molto popolare nelle fiere e feste di paese.
Sul tavolo da gioco ci sono sei quadrati segnati con i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6. I giocatori devono mettere la loro posta in uno dei sei quadrati e successivamente vengono lanciati tre dadi. Se il numero scelto compare soltanto su un dado il giocatore riceve indietro il suo denaro e in più la stessa somma. Se compare su due dadi, riceve indietro il suo denaro più il doppio della stessa somma. Se compare su tutti e tre i dadi riceve indietro il suo denaro più il triplo della stessa somma. Ovviamente se il numero scelto dal giocatore non compare su nessuno dei tre dadi, chi tiene il banco ritira la somma giocata.
Chiariamo il gioco con un esempio. Supponiamo che il giocatore punti un Euro sul 6. Se esce il 6 su uno dei tre dadi, il giocatore riceve indietro il suo Euro, più un altro Euro. Se il 6 esce su due dadi, riceve indietro il suo Euro, più altri due Euro. Nel caso in cui esca il 6 su tutti e tre i dadi, il giocatore riceve indietro il suo Euro. più altri tre Euro.
Il giocatore potrebbe fare questo ragionamento: se la probabilità che esca il mio numero su un dado è 1/6, allora su tre dadi sarà il triplo, cioè 3/6 ovvero 1/2, quindi il gioco è onesto e posso giocare tranquillamente. Ma è corretto questo ragionamento? E se non lo è, qual è la probabilità di vincere o di perdere al gioco?

 

Poker ai dadi

Dadi da poker
Immagine da http://www.gamelandsports.com/

Esistono dadi da poker, cinque, che hanno sulle facce il 9, il 10, il fante, la regina, il re e l'asso, ripresi dal gioco delle carte. Due giocatori, a turno, lanciano i dadi. In ordine discendente le combinazioni vincenti sono: 5 dello stesso valore, 4 dello stesso valore, full (3 carte di un valore e 2 di un altro), scala massima, scala minima, tris (3 carte dello stesso valore), due coppie, una coppia. Vince chi ottiene la combinazione più alta. Nel caso di combinazioni di valori, vince la combinazione con il valore più elevato. Per ogni altra situazione ci si può regolare in modo simile al poker classico, con le carte.
Nella versione più semplice si può giocare a poker con tre dadi normali. Con questi si deve fare una progressione aritmetica, ad esempio, 1, 2 e 3 oppure 3, 4 e 5; 5, 6 e 7. Vince chi fa poker o il poker più elevato. Se nessuno fa poker si segnano i punti ottenuti con i tre dadi e vince il primo che raggiunge la somma di punti stabilita all'inizio della partita.
Poiché ogni dado può dare 6 risultati diversi, con 5 dadi le diverse combinazioni sono 65 = 7776. La probabilità di avere sei valori uguali, ad esempio sei assi, è soltanto 1/7776, mentre la probabilità di avere cinque valori uguali è 6 volte la precedente, cioè 1/1296. La probabilità di avere quattro assi è 25/7776, infatti il quinto dado il quinto dado può avere un valore qualsiasi, escluso ovviamente l'asso, e abbiamo quindi 5 x 5 = 25 casi favorevoli. Mentre, più in generale, la probabilità di avere quattro valori uguali è sei volte più grande e quindi 25/1296.
Saprebbe il lettore trovare la probabilità di avere 3 assi e 2 re? E la probabilità di avere 3 assi? E di 2 assi?

 

Le dodici caselle

Al gioco delle dodici caselle possono partecipare 2 o più giocatori. Sono necessari 2 dadi, 12 gettoni e un foglio di carta sul quale si disegnano 12 caselle, numerandole da 1 a 12.
Con il lancio di un dado si stabilisce chi deve giocare per primo.
A turno ogni giocatore lancia i 2 dadi e va a occupare con i gettoni una o più caselle la cui somma corrisponda al punteggio ottenuto con i dadi. Quando il giocatore riesce a occupare le caselle 7, 8 e 9, acquista il diritto di lanciare un solo dado. In tal modo risulta più facile occupare le caselle con i numeri più bassi.
Il giocatore continua a giocare finché riesce a occupare, secondo la regola stabilita, caselle con i gettoni e termina il suo turno quando non riesce più a trovare caselle vuote in corrispondenza al punteggio dei dadi o del dado. A questo punto il giocatore segna la somma delle caselle rimaste vuote, passando i dadi al giocatore successivo.
Vince chi ottiene il punteggio più basso dopo 10 turni di gioco.

 

Il puzzle del dado

Si può ottenere un puzzle piuttosto impegnativo tagliando un dado in nove parti, come indicato in figura. Le barre orizzontali sono quelle esterne, mentre quelle mediane sono verticali. Non sarà facile rimontare il dado nel modo corretto.

 

Risposte

Jan van Bijlert, Giocatori di dadi, c. 1630

 

La faccia nascosta
Sul dado in basso, poiché la somma delle facce opposte sempre uguale a sette, possiamo dire che 5 e 1 saranno i numeri delle facce opposte rispettivamente a 2 e a 6. La faccia superiore può quindi essere soltanto 3 o 4. Ma possiamo affermare con sicurezza che è 3, poiché i numeri 1, 2 e 3, come abbiamo detto, sono sistemati in senso antiorario.
Allo stesso modo possiamo dire che il numero nascosto sul dado di mezzo 6 e quello sul dado superiore 5.

I dadi incollati
Se si tiene sempre presente che la somma delle facce opposte è sempre 7 e che le facce 1, 2 e 3 sono sistemate in senso antiorario, è facile scoprire che la faccia incollata del dado superiore è 1, quelle del dado centrale sono 2 e 5 e quella del dado inferiore è 2.

Un gioco di prestigio
E’ sufficiente sottrarre 250 al risultato finale e le tre cifre del numero ottenuto sono i punti dei tre dadi. Nel nostro esempio: 386 – 250 = 136 e i punti sui dadi sono proprio 1, 3 e 6.
In generale se a, b e c sono i punti sui tre dadi con il procedimento suggerito abbiamo infatti 100a + 10 b + c + 250.

Rolling dice
La sequenza dei movimenti è 5 - 4 - 1 - 2 - 5 - 4 - 7.
Si possono naturalmente inventare molti altri problemi simili: un compito che lasciamo al lettore.

Numeri e dadi
Ad ogni numero vengono successivamente sommati i punti dei dadi e quindi l’ultimo numero è 16.

Il gioco montenegrino
I due giocatori devono scegliere le coppie 5 e 9, e 13 e 15. Infatti ci sono 216 modi diversi in cui i tre dadi possono cadere e, fra questi 6 diverse possibilità di ottenere 5, 25 di ottenere 9, 21 di ottenere 13 e 10 di ottenere 15. Ogni giocatore ha quindi esattamente 31 diverse possibilità di ottenere uno dei due numeri dichiarati.

Il dado di Carnevale
I casi possibili, nel lancio dei tre dadi, sono 216, ma di questi quelli contrari sono 125 e quelli favorevoli soltanto 91. Quindi la probabilità di vincere, 91/216, è inferiore alla probabilità di perdere, 125/216.
Soltanto nel caso in cui i dadi riportino sempre punteggi diversi il gioco sarebbe equo. Immaginiamo che tutti i quadrati siano coperti con un Euro. Se ad ogni lancio ci fossero tre punteggi diversi chi tiene il banco incasserebbe infatti tre dollari e ne pagherebbe tre. Ma nel caso di un punteggio doppio ricaverebbe un dollaro e per un punteggio triplo ne ricaverebbe due. In conclusione chi tiene il banco può contare su un profitto del 7,8% per ogni giocata da un dollaro.

Poker ai dadi
La probabilità di avere 3 assi e 2 re è 10/7776 = 5/3888. La probabilità di avere 3 assi è 200/7776 = 25/972 e quella di avere 2 assi è 600/7776 = 25/324.

4. In libreria e in rete

Jacopo Gelli, Giuochi e passatempi, pp. 194 – 210, Hoepli, 1979.

Martin Gardner, Show di magia matematica, pp. 207– 217, Zanichelli, 1980.

Domenico Costantini, I fondamenti storico – filosofici delle discipline statistico – probabilistiche, Bollati Boringhieri, 2004.

Per il gioco del craps, oltre a molti altri giochi, si veda il bel libro di R. C. Bell, Il libro dei giochi da tavolo, Idea libri, 1979, pp. 76 - 79.

Fred Schuh, The master book of Mathematical recreations, pp. 155 – 197, Dover, 1968.


Ennio Peres e La nascita della teoria delle probabilità:
http://www.editricegiochi.it/tavolo/enciclopedia/probabilita.htm

Il gioco della Zara:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Giu_04/Cap5.html

Per giocare a craps, ma senza soldi:
http://www.online-craps.net/it/giocare_gratis_craps.html

I Dadi Platonici. Oltre ai dadi cubici, in versioni interattive, i dadi aventi la forma degli altri poliedri regolari:
http://digilander.iol.it/liceorodolico/matematica.htm

Un curioso “gioco dei dadi”:
http://www.slf.ruhr-uni-bochum.de/tandem/ita/0103-ita.rtf

Un gioco con i dadi, utile come esercitazione sul calcolo aritmetico:
http://www.math.it/45/45.htm

Applet per i lanci di due dadi, con il grafico la frequenza dei punteggi usciti:
http://perso.wanadoo.fr/jpq/proba/s2des/

Un articolo di Ivars Peterson sui dadi truccati:
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_10_26_98.html

Yahtzee, poker ai dadi:
http://www.rekenwonder.com/yahtzee/yahtzee.htm

Un'altra versione di poker ai dadi:
http://www.webdice.org/

Un grande collezionista di dadi:
http://www.dicecollector.com/diceinfo_how_many_shapes.html

Minuetti di Mozart da comporre giocando ai dadi:
http://www.worldvillage.com/jchuang/Music/Mozart/mozart.cgi