Giochi e problemi di H. E. Dudeney

di Federico Peiretti

 

 

Un buon puzzle richiede il massimo impegno del nostro intuito  e del nostro  ingegno, e sebbene la conoscenza della matematica e della logica sia sovente di grande aiuto nella ricerca della soluzione, accade talvolta che una certa astuzia e un certo acume naturale siano di una grande importanza nell’affrontare questo genere di problemi.

H. E. Dudeney

Henry Ernest Dudeney, 1857 – 1930

Ai confini della matematica, là dove la matematica diventa gioco e il gioco diventa matematica, possiamo scoprire quanto sia divertente “fare matematica”. Dobbiamo soltanto essere disponibili ad accettare sfide alla nostra intelligenza. Su questa strada della matematica divertente, dedichiamo un omaggio al grande maestro inglese della matematica ricreativa, Henry Ernest Dudeney (1857 – 1930), che tante volte abbiamo citato nelle pagine dei problemi proposti da Polymath. Dudeney, bravo matematico – dichiarò Martin Gardner –  è stato il più grande inventore di puzzle che sia mai esistito”.

C’era una certa tradizione matematica nella famiglia di Dudeney.  Suo padre era un insegnante, come il  nonno, un pastore che aveva studiato matematica da autodidatta. La prima autentica passione di Dudeney furono gli scacchi e all’età di nove anni inventava già nuove partite e nuovi problemi. Anch’egli studiò matematica per conto suo e iniziò ben presto la sua collaborazione a diverse riviste sotto lo pseudonimo di Sfinge. In questo modo ebbe occasione di conoscere un gruppo di scrittori che aveva i suoi stessi interessi. Fra questi c’era anche Arthur Conan Doyle. Nel 1884 sposò una popolare scrittrice di racconti che sicuramente lo aiutò molto nella stesura dei suoi problemi.

Un buon puzzle – affermava Dudeney – impegna seriamente la nostra intelligenza e il nostro ingegno. Ma sebbene una certa conoscenza della matematica e della logica sia sovente di grande utilità nella ricerca della soluzione, tuttavia può accadere che astuzia e intuizione siano più vantaggiosi”.

Peccato che i suoi libri non siano disponibili in italiano. Sono infatti una preziosissima miniera di spunti per le lezioni di ogni insegnante.

Dudeney è l’inventore dei Pentamini, uno dei giochi matematici più divertenti, che venne poi sviluppato da Solomon W. Golomb, e che abbiamo già presentato.

Dudeney dedicò inoltre molta attenzione ai problemi di scomposizione dei poligoni in parti che possono essere ricomposte in altri poligoni, aventi naturalmente la stessa area. E ottenne, in questo campo, notevoli risultati, a dimostrazione della sua ottima preparazione matematica. Ad esempio, uno dei problemi più complicati che riuscì a risolvere e che battezzò il «problema del merciaio», è la divisione di un triangolo equilatero in quattro parti tali che, riunite insieme, possono formare un quadrato. La soluzione è molto difficile e, non volendo tormentare il lettore, la proponiamo immediatamente. Egli costruì un modello, che riportiamo in figura, con i quattro pezzi incernierati in modo da poter formare il quadrato o il triangolo, ed ebbe la soddisfazione di presentare la sua scoperta matematica, nel 1905, alla prestigiosa Royal Society.

 

AB = BC = AC; AD = DB e BE = EC

Prolungare AE in F, in modo che sia EF = EB

G è il punto medio di AF.

Con centro in G  tracciare la semicirconferenza AHF

Prolungare EB fino ad H.

Con centro in E tracciare l’arco HJ

JK = BE

DL e KM perpendicolari a EJ

 

Vediamo alcuni giochi e problemi di Dudeney. Sono problemi di cent’anni fa e conservano intatto quel fascino particolare del tempo antico, con ritmi e riflessioni che certo oggi sono certamente cambiati.

  

1)  Un posto a tavola

Uno dei più famosi problemi proposti da Dudeney tratta il delicato compito dell’assegnazione dei posti a tavola. Vediamo il caso di 6 persone invitate a pranzo attorno a un tavolo rotondo. Ognuno degli invitati desidera pranzare una, e una sola volta, con la medesima coppia di vicini. Noi sappiamo che ci sono  5 x 4/2 = 10 coppie possibili e ci chiediamo se sia possibile organizzare 10 pranzi a queste condizioni.

  

2)  Il problema del falegname

Un falegname vuole tagliare il pezzo di legno di figura nel minor numero possibile di pezzi, con i quali vuole formare un quadrato, senza sprecare materiale. Come deve procedere?

 

3)  Gioco di guerra

Un giocatore, che rappresenta il generale inglese, colloca il suo gettone in B e l’altro giocatore, che rappresenta invece il nemico, colloca il suo in E. L’inglese fa la prima mossa lungo una delle strade verso la città più vicina, quindi il nemico muove verso una delle città a lui più vicine, e così via, rispettando il proprio turno, finché il generale inglese arriva alla stessa città del nemico e lo cattura. Sebbene entrambi debbano sempre muoversi lungo una strada che li porti alla città più vicina e il nemico debba fare del suo meglio per non essere catturato, il generale inglese (come possiamo supporre che accada nella vita reale) risulterà infallibilmente vincitore. Ma in che modo? Questa è la domanda.

4)  Le quattro rane

In figura abbiamo otto funghi.  Due rane bianche si trovano sui funghi numero 1 e 3, e due rane nere sui funghi 6 e 8. Si chiede di muovere le rane, una per volta, lungo le linee segnate, da fungo a fungo, finché si siano scambiate di posto, le rane bianche in 6 e 8, le rane nere in 1 e 3. Ovviamente su ogni fungo non ci può essere, nello stesso momento, più di una rana.

 

  

5) Sir Edwin de Tudor

Sir Edwin de Tudor deve correre a liberare Isabella, la donna del suo cuore, tenuta prigioniera da un perfido barone. Sir Edwin ha calcolato che viaggiando a 15 miglia all’ora, arriverebbe al castello troppo presto, un’ora prima del momento concordato con Isabella per la sua liberazione, mentre se viaggiasse a 10 miglia all’ora arriverebbe in ritardo di un’ora.

E’ essenziale arrivare al momento giusto perché il suo tentativo abbia successo. Deve arrivare alle cinque esatte, quando Isabella prende il suo tè del pomeriggio. A quale velocità deve viaggiare Sir Edwin?

6)  Il gioco del 22

Si dispongano le sedici carte come indicato in figura.

Due giocatori a turno tolgono una carta che va ad aggiungersi a una somma comune. Vince il giocatore che arriva a 22 punti oppure che riesce a far andare il suo avversario oltre questo punteggio.

Ad esempio, se il primo giocatore A toglie un 4, il secondo giocatore toglie 3 (la somma è 7), A toglie un 4 (la somma è 11), B toglie un 2 (la somma è 13), A toglie un 1 (14), B toglie 3 (17), a questo punto qualsiasi carta tolga A, B vince sicuramente alla mossa successiva.

Ancora un esempio. Se la partita è stata la seguente, 3 – 1, 1 – 2, 3 – 3, 1 – 2, 1 – 4, a questo punto la somma è 21 e il secondo giocatore ha vinto poiché non ci sono più 1 a disposizione e qualsiasi carta tolga il primo giocatore andrà sicuramente oltre 22.

Qual è la strategia vincente del gioco e qual è il giocatore che può vincere sempre?

 

 

7)  I recinti del signore di campagna

Un proprietario terriero deve risolvere un problema per il quale consulta il suo fattore. Ha davanti a sé una pianta di un suo terreno, in cui si trovano undici alberi. E vuole dividere il terreno in undici recinti con steccati rettilinei, in modo che ogni recinto contenga un albero che deve servire da riparo per il bestiame.

Tracciare le linee attraverso il terreno in modo da avere gli undici recinti, tenendo presente che gli steccati si possono incrociare.

8)  Aritmetica verbale

Dudeney definiva “aritmetica verbale” i giochi in cui cifre identiche vengono sostituite dalle stesse lettere e il lettore era invitato a ricostruire l’operazione che salvasse questa corrispondenza numero – lettera. Quello che proponiamo è uno dei più noti.

9)  Corone e leoni 

 

 

La signora dell’illustrazione ha un problema e il lettore sarà felice di aiutarla. Vorrebbe, per motivi suoi che non mi ha spiegato, tagliare il quadrato di tessuto pregiato in quattro parti, tutte della stessa forma e di area uguale, in modo però che ogni pezzo contenga un leone e una corona. Inoltre insiste perché i tagli vengano effettuati soltanto lungo le linee che dividono il quadrato. La signora è in difficoltà. La vogliamo aiutare? C’è solo un modo per tagliare il tessuto secondo le sue indicazioni.

 

 

 

 10)  Il triangolo sezionato.

Un buon puzzle – scrive Dudeney – è quello che il “gentleman” dell’illustrazione sta presentando ai suoi amici. Si deve scomporre un triangolo equilatero in cinque parti, tali che si possano ricomporre, sempre usandole tutte e cinque, due o tre triangoli equilateri più piccoli.

 

11)  Il ragno e la mosca

Quello che segue è uno dei più noti problemi di Dudeney.

Una stanza rettangolare ha le dimensioni (... in misure inglesi) di figura. Un ragno, indicato con , si trova al centro di una delle due pareti di fondo a un piede dal soffitto. Una mosca, indicata con ,  si trova invece sulla parete opposta, a un piede dal pavimento.

Qual è la distanza più breve che il ragno deve percorrere per raggiungere la mosca?

 

12) Attraversare il fiume

Un distaccamento di soldati si trovò a un certo punto davanti a un fiume ampio e profondo.  Per attraversarlo c’era soltanto la barca di due ragazzi. Una barca così piccola che poteva trasportare soltanto i due ragazzi o un adulto. Come riuscì l’ufficiale con i suoi 357 soldati ad attraversare il fiume, lasciando ala fine i due ragazzi con la loro barca? E quante volte la barca dovette attraversare il fiume, da riva a riva?
Immagine da http://www.venumenon.com/articles/article_page.asp?catid=5&artid=18

 

13)  Le dieci mele

La famiglia che presentiamo nel disegno si sta divertendo on un piccolo problema che non è molto difficile, ma piuttosto divertente. Come si vede, hanno sistemato sedici piatti sul tavolo, disposti in modo da formare un quadrato e c’è una mela in ognuno dei dieci piatti indicati. Essi vogliono trovare il modo di togliere tutte le mele, tranne una, saltando su una di queste mele alla posizione successiva, se questa è vuota, con un salto simile a quello della dama; o, meglio, come nel solitario classico, poiché è proibito qualsiasi movimento in diagonale e sono permessi soltanto movimenti paralleli ai lati del quadrato. Ovviamente all’inizio, con le mele collocate nel modo indicato in figura, non si può fare alcuna mossa, ma è permesso lo spostamento di una qualsiasi delle mele in un piatto vuoto, prima di iniziare.  Le mosse successive devono essere soltanto più i salti, togliendo ad ogni mossa la mela saltata.

 

14)  Il formaggiaio eccentrico

 

Il formaggiaio dell’illustrazione ama i problemi matematici. Uno dei suoi problemi favoriti è la sistemazione delle forme dei suoi formaggi nel magazzino. Un divertimento che ritiene anche un ottimo esercizio, tanto per la mente quanto per il corpo. Egli colloca sedici forme di formaggio in fila sul pavimento e successivamente le sistema in quattro pile, una forma sull’altra, con quattro forme per ogni pila, sempre passando una forma su altre quattro. Se si usano sedici gettoni numerati ordinatamente da 1 a 16, dovremo collocare 1 su 6, 11  su 1, 7 su 4 e così via, ottenendo alla fine quattro formaggi per ogni pila. Ovviamente si devono sempre saltare quattro formaggi, che possono essere ancora isolati oppure già parzialmente impilati, e ogni formaggio si può spostare in una qualsiasi direzione. Ci sono diversi modi per ottenere questa sistemazione in dodici mosse e resta quindi un bel gioco di “pazienza” tentare di risolvere il gioco in modo che le quattro pile di formaggi si trovino in posizioni diverse. Ad esempio si tenti di collocar le pile di formaggi agli estremi della fila, ai numeri 1, 2, 15 e 16. E questo è semplice. Si cerchi poi di sistemare tre pile vicine ai numeri 13, 14 e 15. E ancora di collocarle ai numeri 3, 5, 12 e 14.

 

15)  I barili di balsamo

Un mercante di Bagdad ha dieci barili di un balsamo prezioso in vendita. Questi barili sono sistemati e numerati nel modo indicato nel disegno.  Più piccolo è il numero del barile, più grande è il suo valore. La qualità migliore è indicata quindi dal numero 1 e la peggiore dal 10. Gli altri numeri indicano qualità intermedie. La regola di Ahmed Assan era molto precisa: non collocare mai un barile al di sotto o a destra di uno di minor valore. La collocazione di figura è naturalmente la più semplice possibile per soddisfare questa condizione. Ma ci sono diverse altre sistemazioni possibili. Ad esempio:

 

Anche in questo caso la regola è soddisfatta. Il problema consiste nello scoprire quanti sono i modi possibili di sistemazione dei barili, senza che venga infranta la regola data.

 

16)  I quattro leoni

Si tratta di trovare in quanti modi è possibile  collocare i quattro leoni affinché ci sia sempre un solo leone per ogni riga e ogni fila. Non si possono contare le configurazioni ottenute per rotazione o simmetria. Ad esempio, se collochiamo i leoni sull’altra diagonale del quadrato abbiamo sempre la stessa soluzione. Infatti si può ottenere da quella di figura con una semplice rotazione di un quarto di giro o collocando il disegno di fronte a uno specchio. E’ un problema molto semplice, ma che richiede alcune attente considerazioni.

 

Soluzioni

 

1)  Un posto a tavola

Questa è la soluzione di Dudeney al problema:

1

2

3

6

4

5

1

3

4

2

5

6

1

4

5

3

6

2

1

5

6

4

2

3

1

6

2

5

3

4

1

2

4

5

6

3

1

3

5

6

2

4

1

4

6

2

3

5

1

5

2

3

4

6

1

6

3

4

5

2

Lo stesso problema si può generalizzare considerando n persone invitate a (n-1)(n-2) pranzi. Per n pari, il problema è stato risolto soltanto nel 1993. Per  n dispari non è ancora stata trovata la soluzione generale....

2)  Il problema del falegname

Il poligono si può dividere, molto semplicemente, in tre parti. E’ sufficiente trovare F, il punto medio di BC, e tracciare i segmenti AF e FD. Si osservi che il triangolo CDE è un quarto del quadrato ABCE.

3)  Gioco di guerra

Numeriamo le città come indicato in figura. Per quanto il nemico possa essere astuto, il generale riuscirà sempre a catturarlo, ma curiosamente soltanto dopo aver visitato la città “1” della mappa, entrando da “3” e uscendo da “2”, oppure entrando da “2” e uscendo da “3. Le tre città ombreggiate e senza numero non vengono considerate perché il generale non ha necessità di entrare in una qualsiasi di queste. Senza pensare a quello che può fare il nemico, il generale potrebbe fare il seguente percorso in nove mosse:

24 – 20 – 19 – 15 – 11 – 7 – 3 – 1 – 2. Se anche il nemico pensasse di raggiungere la città “1”, dovrebbe fare una precipitosa ritirata lungo la stessa strada percorsa all’andata, altrimenti il generale lo catturerebbe nelle città “2” o  “3”. Quindi il nemico dovrebbe assolutamente evitare il lato nord – Ovest della mappa. A questo punto, dopo che il generale ha fatto le nove mosse indicate, il nemico  sarà, dopo la sua nona mossa, in una delle seguenti città: 5, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 24 oppure 27.  Ovviamente se è stato tanto imprudente da recarsi in “3” o in “6” a questo punto verrebbe catturato. Ovunque sia, il generale lo rincorre e non ha alcuna difficoltà a catturarlo in otto mosse (diciassette in tutto) secondo uno dei percorsi seguenti. Il generale va in “8” quando il nemico è in “5” e vince alla mossa successiva, oppure va in “19” quando il nemico è in “22” e vince sempre alla mossa successiva, oppure in “24” se il nemico è in “27” e vince ancora alla mossa successiva. Si può verificare che il nemico viene obbligato a trovarsi in una di queste posizioni fatali.

In breve la strategia è la seguente: il generale gioca le prime nove mosse indicate e, sebbene il nemico faccia del suo meglio per fuggire, il generale lo insegue e vince. Come ho detto non sono necessarie più di diciassette mosse in tutto e può vincere anche con un numero minore di mosse, se il nemico gioca male. Dopo che ha giocato queste nove mosse, in ogni caso il generale vince anche se fa qualche mossa sbagliata. Può perdere tempo, ma non il vantaggio che ha acquisito sul nemico.

Questa è la spiegazione dettagliata del gioco. Sulla carta può sembrare un gioco complesso, in realtà è molto semplice. Fate le nove mosse indicate e arriverete sicuramente alla vittoria. si tratta di una situazione che nel gioco degli scacchi viene chiamata “opposizione” e  la visita del generale alla città “1” gli assicura la strada  verso la vittoria.  Quello che segue è un esempio in cui il nemico evita la cattura il più a lungo possibile. Le mosse del generale sono sopra la linea, quelle del nemico sotto e si gioca a mosse alterne.

In questo esempio, a questo punto del gioco, il nemico deve andare in 25 o in B e in entrambi i casi viene immediatamente catturato.

4)  Le quattro rane

Il numero minimo di mosse necessarie per scambiare fra loro rane bianche e rane nere è 16, ma se contiamo come un’unica mossa le mosse successive della stessa rana, diventano sette:

(1 – 5), (3 – 7, 7 – 1), (8 – 4, 4 – 3, 3 – 7), (6 – 2, 2 – 8, 8 – 4, 4 – 3), (5 – 6, 6 – 2, 2 – 8), (1 – 5, 5 – 6), (7 – 1).

Questo problema, ci ricorda Dudeney, venne proposto dal celebre architetto e matematico Guarino Guarini nel Cinquecento. A dimostrazione delle ottime conoscenze matematiche di Dudeney, vediamo la soluzione “topologica” da lui proposta, partendo dalla forma classica di questo problema, con quattro cavalli due bianchi e due neri su una piccola scacchiera. Era il metodo che usava sovente per risolvere vari problemi di percorsi e che chiamava del “filo e dei bottoni”.

Mettiamo dei bottoni al posto dei funghi o dei cavalli e  consideriamo le linee che li uniscono come fili. Se apriamo tutto l’insieme in un cerchio, come quello di figura, è chiaro che la struttura topologica non cambia. In questo modo vediamo immediatamente che le rane si possono muovere soltanto sul cerchio, in un verso o nell’altro, finché non si sono scambiate le posizioni. E il gioco che sembrava complicatissimo, grazie alla matematica è diventato addirittura banale.

 

5)  Sir Edwin de Tudor

Sir Edwin deve percorrere 60 miglia. Se parte a mezzogiorno e viaggia a 15 miglia all’ora, arriva alle 4, un’ora in anticipo sull’appuntamento Se viaggia a 10 miglia all’ora, arriva in ritardo di un’ora. Ma se viaggia a 12 miglia all’ora, raggiunge il castello del perfido barone esattamente alle cinque, l’ora dell’appuntamento.

 

6)  Il gioco del 22

A parte la situazione in cui non ci siano più carte disponibili, la serie vincente è 7, 12, 17, 22. Se si arriva a 17 punti e rimane almeno una coppia di 5 punti, dei due tipi 4 – 1 oppure 3 – 2, si può vincere.  Se si arriva a 12 e ci sono ancora due coppie di 5 dei due tipi 4 – 1 e 3 – 2, si può ancora vincere e così pure se si arriva a 7 e ci sono tre coppie di 5 dei due tipi si vince sempre. Ad esempio, se il primo giocatore gioca 3 oppure 4, si deve giocare 4 oppure 3, per arrivare al punteggio 7. A questo punto, il secondo giocatore non ha più difficoltà ad arrivare a 12, 17 e infine a 22. La partenza con un 2 può sempre avere come risposta un 2 o un 3. In questo modo con 2 - 3, 2 - 3, 2 - 3, 2 - 3, si arriva a 20 e non essendoci più 2 disponibili, il secondo giocatore ha vinto. Ugualmente con , 2 - 3, 1 - 3, 3 - 2, 3 - 2, si arriva a 19, il secondo giocatore vince e continua a vincere con , 2 - 3, 3 - 4 (12) oppure 2 - 3, 4 - 3 (12). Lasciamo al lettore il compito di trovare la strategia vincente con una partenza 2 – 2.

L’unico modo che ha il primo giocatore per vincere è di giocare sempre 1: Ecco uno schema delle possibili partite:

1 - 1, 4 - 1, 4 - 1, 4 - ...(16) vince. 1 - 3, 1 - 2, 4 - 1, 4 - 1, 4 ... (21) vince. 1 -    4, 2 (7) vince. 1 - 2, 4 (7) vince.

7)  I recinti del signore di campagna

Sono sufficienti 4 steccati rettilinei, come indicato in figura.

8)  Aritmetica verbale

Risolve il problema: O=0, M=1, Y=2, E=5, N=6, D=7, R=8 e S=9.

 

9)  Corone e leoni

Per evidenziare la soluzione del problema, due dei quattro pezzi sono stati tratteggiati.

10)  Il triangolo sezionato.

11)  Il ragno e la mosca

Il modo più semplice per risolvere il problema consiste nello sviluppare la stanza sul piano. In questo modo il percorso più breve risulta l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, pari a 40 piedi.

12) Attraversare il fiume

I due ragazzi portano la barca sulla riva del fiume opposta a quella sulla quale si trovano i soldati. Uno dei due scende e l’altro riporta indietro la barca. A questo punto un soldato attraversa il fiume, scende, e il ragazzo ritorna con la barca. Per far attraversare il fiume a un soldato sono stati quindi necessari 4 attraversamenti del fiume. Saranno perciò necessari 4 volte 358, cioè 1432 viaggi, per far attraversare il fiume ai 357 soldati e all’ufficiale e fare in modo che i due ragazzi possano riprendersi la loro barca.

 

13)  Le dieci mele

Numeriamo i piatti di ogni fila, a partire dall’alto verso il basso:

(1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8), (9, 10, 11, 12), (13, 14, 15, 16)

Spostiamo poi la mela del piatto 8 nel piatto 10 e procediamo con le mosse qui di seguito indicate, togliendo sempre la mela saltata:

9-11, 1-9, 13-5, 16-8, 4-12, 12-10, 3-1, 1-9, 9-11.

 

14)  Il formaggiaio eccentrico

Per arrivare a sistemare le pile di formaggi ai due estremi della fila, si deve procedere in questo modo: 7 – 2, 8 – 7, 9 – 8, 10 – 15, 6 – 10, 5 – 6, 14 – 16, 13 – 14, 12 – 13, 3 – 1, 4 – 3, 11 – 4. Si tenga presenta che i numeri sono riferiti alle forme di formaggio e non alla loro posizione nella fila. Questa è probabilmente la soluzione più semplice da trovare. Per ottenere invece le tre pile di formaggi in 13, 14 e 15 si giochi in questo modo: 9 – 4, 10 – 9, 11 – 10, 6 – 14, 5 – 6, 12 – 15, 8 – 12, 7 – 8, 16 – 5, 3 – 13, 2 – 3, 1 – 2. Infine, per collocare le pile di formaggi in 3, 5, 12 e 14, si giochi così: 8 – 3, 9 – 14, 16 – 12, 1 – 5, 10 – 9, 7 – 10, 11 – 8, 2 – 1, 4 – 16, 13 – 2, 6 – 11, 15 – 4.

 

15)  I barili di balsamo

 

Questo problema si può risolvere facilmente con un numero qualsiasi di barili, una volta che sia stato chiarito il procedimento. Vediamo come fare. Ci sono cinque barili su ogni fila. Si moltiplichino i numeri 1, 2, 3, 4 e 5 fra loro e si faccia la stessa cosa con 6, 7, 8, 9 e 10. Si divida poi un risultato per l’altro. In questo modo si ottiene il numero di combinazioni diverse ovvero di dieci cose prese cinque per volta. E queste sono 252. Se dividiamo ora per 6 ( 1 in più del numero di una riga) otteniamo 42 che è la risposta corretta del problema. Ci sono perciò 42 modi diversi di sistemare i barili. Se si procede allo stesso modo nel caso di sei barili, tre su ogni fila, si arriva a 5 diverse soluzioni. Se si procede per tentativi, si scopre che le cinque diverse sistemazioni sono rispettivamente 123, 124, 125, 134, 135 sulla fila superiore e non ci sono altre soluzioni.

La soluzione generale del problema è  /n + 1 dove 2n è il numero dei barili. Il simbolo C indica il numero di combinazioni che possiamo fare con 2n oggetti presi a n a n.

16)  I quattro leoni

Ci sono soltanto sette soluzioni diverse. E sono le seguenti:

1   2   3   4

1   2   4   3

1   3   2   4

1   4   3   2

2   1   4   3

2   4   1   3

L’ultimo esempio indica, come soluzione, un leone nel secondo quadrato della prima fila, uno nel quarto quadrato della seconda fila, uno nel primo quadrato della terza fila e uno nel terzo quadrato della quarta fila. Il primo esempio è naturalmente quello della configurazione data all’inizio del gioco.

 

In libreria e in rete:

M.Gardner, Enigmi e giochi matematici, Vol. II, Sansoni, 1973, pag. 17 - 25

H. E, Dudeney, The Canterbury Puzzles, Dover, 2002, pp. 256

H. E, Dudeney, Amusements in Mathematics, Dover, 1970, pp. 258

H. E, Dudeney, 536 Puzzles and Curious Problems, Barnes & Noble Books, 1995.

 

La biografia di Dudeney:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dudeney.html

 

Puzzle di Dudeney:

http://thinks.com/puzzles/dudeney/dudeney.htm

http://www.kalva.demon.co.uk/dudeney/dud1.html

 

A questo indirizzo web si trova l’applet della trasformazione dal quadrato al triangolo e viceversa:

http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/dudeney_tr.htm

 

Per il problema del ragno e la mosca si veda il problema, con applet java, al sito World of Mathematics di Eric Weisstein:

http://mathworld.wolfram.com/SpiderandFlyProblem.html