3. La matematica dei labirinti

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Il labirinto matematicamente, è un problema di topologia, anzi questo ramo della matematica nasce proprio dallo studio dei labirinti e in particolare da un problema studiato nel Settecento da Euler: i ponti di Königsberg. Sul fiume Pregelarme che attraversa la città di Königsberg c’erano sette ponti e due isole, indicati nello schema di figura ( i sette ponti sono i segmenti rossi) e la sfida per gli abitanti era di trovare un percorso che consentisse di attraversare tutti i ponti, passando una sola volta su ogni ponte. Euler sostituì la terra ferma e le due isole con punti e ogni ponte con un segmento o un arco. Il problema consisteva ora nel riuscire a disegnare questa figura con un tratto continuo di penna, senza ripassare su alcun arco, ed Euler dimostrò che questo era impossibile. Questo è il problema al quale tradizionalmente si fa risalire l’origine della topologia, così utile, come vedremo per risolvere i labirinti.

Il fiume Pregelarme a Königsberg, con lo schema dei sette ponti
 

Segnaliamo, come esempio di analisi topologica dei labirinti, due lavori.

Il primo è del matematico americano Anthony Phillips:

http://www.math.sunysb.edu/~tony/mazes/index.html

Dal suo studio riprendiamo alcune osservazioni, rimandando comunque alle sue pagine per un ulteriore approfondimento.

Si può disegnare, per gioco, il labirinto di Creta, iniziando con una croce, quattro L e quattro punti, come indicato in figura. Successivamente, si uniscono con degli archi due punte terminali, iniziando con la coppia centrale in basso e proseguendo poi, verso destra, con le successive due punte, una per lato. Tenendo presente la figura di destra, non dovrebbe essere complicato capire come procedere. Il risultato è un labirinto che può essere attraversato completamente, con un solo percorso, che inizia dall’esterno e arriva al centro.

Questo gioco è molto antico, infatti lo stesso disegno, in forma rettangolare, è tracciato su una tavoletta ritrovata tra le rovine del Palazzo di Nestore, Re di Pilo e risale al 1200 a. C.

In figura sono riportati gli schemi del labirinto di Creta (a sinistra) e di “Jerico”, così chiamato perché i suoi 7 archi concentrici simboleggiano le sette mura della città di Jerico. Anche se quest’ultimo a una certa somiglianza con quello di Creta, ad una più attenta osservazione si vede che sono molto diversi. Il primo ha 8 livelli, mentre il labirinto di Jerico ne ha 7 e la sequenza dei livelli non è la stessa.
In entrambi i labirinti si va direttamente al livello 3, se indichiamo l’esterno con 0, ma successivamente nel labirinto di Creta si torna indietro ai livelli 2 e 1, mentre per Jerico si prosegue con i livelli 4 e 5, prima di ritornare a 2 e 1.

Miniatura da un Vangelo armeno. Alle spalle del Cristo la città di Jerico

Il gioco può proseguire, appresa la tecnica di costruzione di questi labirinti, passando ai labirinti a 10 o 12 livelli. Sono 262, dice Anthony Phillips, i labirinti diversi a 10 livelli e 1828 quelli a 12 livelli.

Il secondo lavoro matematico sui labirinti è stato pubblicato dalla rivista online PLUS, che abbiamo già più volte avuto occasione di segnalare come la miglior rivista matematica della rete: Maths aMazes di Chris Budd e Chris Sangwin.

http://plus.maths.org/issue14/features/budd/

 

Anche in questo caso si parte da quello che viene chiamato il “seme” per costruire il labirinto di Creta:

da questo, inizia la costruzione, simile alla precedente:

 

Viene anche proposto un’applet Java che visualizza la costruzione:

http://plus.maths.org/issue14/features/budd/complete.html

Il grafo del labirinto più semplice, senza incroci, ad esempio quello di Creta, è il seguente:

Ma vediamone uno più complicato, un labirinto con incroci:

Il grafo corrispondente è il seguente:


Lo studio di Budd e Sangwin prosegue con una accurata analisi generale dei labirinti.

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