Stomachion, il puzzle di Archimede

di Federico Peiretti

Archimede, 287 - 212 a. C.

Il manoscritto di Costantinopoli, è un palinsesto contenente le opere di Archimede, noto come il Codice C, scoperto nel 1906 a Costantinopoli da Ludwig Heiberg. Una scoperta sensazionale che finì sulla prima pagina del New York Times. Sembra che sia stato realizzato a Gerusalemme nel 1229, dopo alcuni secoli comparve e riapparve soltanto nel 1998 a un'asta della Casa Christie's di New York dove venduto aggiudicato per 2 milioni di dollari. Questo preziosissimo manoscritto ha riportato l’attenzione su un antico gioco greco dal nome curioso: Stomachion. Nel manoscritto il grande scienziato siracusano dedica infatti alcune pagine alla presentazione del gioco, simile al più celebre Tangram, il “quadrato delle sette astuzie”. Non sappiamo se sia stato lo stesso Archimede a inventare questo puzzle oppure, com’è più probabile, se ne abbia soltanto studiato le proprietà geometriche.

Due pagine del Codice C, noto anche come "Il manoscritto di Costantinopoli".
immagine da http://www.sciencenews.org/articles/20040515/bob9.asp
Le quattordici tessere dello Stomachion

Stomachion, è un termine che deriva dal greco stomachos (irritazione) e dal latino stomachari (irritarsi), che qualcuno traduce letteralmente il "Mal di Stomaco" e altri più liberamente"Il gioco che fa impazzire". Di questo gioco parlano diversi autori latini che lo ribattezzarono la “Scatola di Archimede”: Loculus Archimedius. Ausonio, poeta latino vissuto nel quarto secolo d. C., paragona lo Stomachion ad una poesia con versi in metriche diverse:
"Dovresti vederla simile al gioco che i Greci chiamano ostomachion - scrive Ausonio - Sono quattordici ossicini in tutto, tagliati in forme geometriche. Alcuni sono triangoli equilateri, altri simmetrici, alcuni con angoli retti, altri obliqui: si chiamano isosceli, isoplori, anche ortogonali e scaleni. I diversi raggruppamenti di questi pezzi rappresentano mille cose: un grande elefante, un cinghiale feroce, un'oca in volo, un mirmillone armato, un cacciatore appostato, un cane che abbaia, e ancora una torre, un cantaro e una gran quantità d'altre immagini di questo genere, che variano secondo l'abilità del giocatore".
Ecco il brano originale di Ausonio dal suo Liber XVII Cento Nuptalis: Diffinduntur autem per caesuras omnes, quas recipit versus heroicus, convenire ut possit aut penthemimeris cum reliquo anapaestico aut trochaice cum posteriore segmento aut septem semipedes cum anapaestico chorico aut post dactylum atque semipedem quidquid restat hexametro, simile ut dicas ludicro quod Graeci ostomachion vocavere. Ossicula ea sunt: ad summam XIV figuras geometricas habent. Sunt enim aequaliter triquetra, vel extentis lineis, vel ejusdem frontis, vel rectis angulis, vel obliqui: isoskele ipsi, vel isopleura vocant, orthogonia quoque et skalena. Harum verticularum varis coagmentis simulantur species mille formarum: elephantus belua aut aper bestia, anser volans et mirmillo in armis, subsidens venator et latrans canis, quin et turris et cantharus et alia hujusmodi innumerabilium figurarum, quae alio alius scientius variegant.

In figura sono riportati l'”Elefante di Ausonio” e un rombo, costruiti con i 14 pezzi dello Stomachion, un gioco che "giovava moltissimo - osserva un altro poeta latino, Cesio Basso - a rafforzare la nostra memoria, quando eravamo fanciulli".

Con questi pezzi, realizzati un tempo in avorio o altri materiali pregiati, e che il lettore potrà realizzare più semplicemente in legno o in cartoncino, si possono comporre, oltre all’elefante e al rombo, centinaia di oggetti, animali e figure, simili a quelli ottenuti con i 7 pezzi del Tangram. In figura è indicata la costruzione dello Stomachion. Si parte da un foglio a quadretti sul quale si segna un quadrato di 12 x 12 quadretti. Si divide poi il quadrato nel modo indicato e si ottengono i 14 pezzi del puzzle: 11 triangoli, 2 quadrilateri e un pentagono.
Possiamo calcolare l’area di questi poligoni applicando un teorema poco noto, ma che può essere molto utile in pratica, per calcolare l'area di poligoni irregolari. E' il teorema di Pick, che afferma:
“L’area di una figura geometrica i cui vertici siano punti di un reticolo è uguale alla somma del numero dei punti interni e della metà dei punti toccati dal contorno della figura, meno un’unità”.

Francobollo italiano dedicato ad Archimede

Se indichiamo con I i punti interni e con T i punti del contorno, abbiamo la formula:

Area = I + 1/2 T - 1

I punti interni al poligono sono 24, quelli sul contorno 11 e quindi, per il teorema di Pick, la sua area è 24 + 11/2 - 1 = 28,5 quadretti. I punti interni al poligono sono 23, quelli sul contorno 16 e quindi, per il teorema di Pick, la sua area è 23 + 16/2 - 1 = 30 quadretti.
Le aree dei diversi pezzi dello Stomachion, calcolate con il teorema di Pick.

Questo teorema venne scoperto da George Alexander Pick, un matematico austriaco, amico di Einstein, morto nel 1943 in un campo di concentramento.
In figura riportiamo, come esempio, il calcolo dell’area di due poligoni, con il teorema di Pick, “la cui dimostrazione - osserva il matematico polacco Hugo Steinhaus - non è ovvia”, ma che non richiede, per essere applicato, particolari competenze matematiche e che ha diverse applicazioni pratiche. Ad esempio, per calcolare l’area di una piantagione, con gli alberi piantati a distanze regolari, sarà sufficiente applicare la formula che abbiamo appena visto, sostituendo gli alberi ai punti.
E’ facile verificare con il teorema di Pick che lo Stomachion ha 2 pezzi di area 3 quadretti, 4 pezzi di area 6, un pezzo di area 9, 5 pezzi di area 12, un pezzo di area 21 e un pezzo di area 24 quadretti.
Lasciamo al lettore il piacere di scoprire nuove forme e proponiamo un ultimo problema: comporre con i 14 pezzi tre figure geometriche le cui aree siano uguali allo stesso numero intero.

Alcune figure costruite con i pezzi dello Stomachion da Michael Lahanas
immagini da http://www.mlahanas.de/Greeks/ArchimedesComb.htm
Le costruzioni proposte dalla Bibliotheca Augustana:
http://www.fh-augsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost3.html

Nel Novembre del 2003, Bill Cutler trovò che esistono 536 modi possibili di sistemare i 14 pezzi in un quadrato. Le soluzioni, riportate qui sotto, sono identiche se equivalenti per rotazione o riflessione.

immagine da http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html

La ricerca del quadrato ricomposto con le 14 tessere ha portato recentemente un gruppo di matematici di Stanford (tra i quali Persi Diaconis) a svolgere un'indagine per calcolare quanti siano i modi diversi in cui è possibile ricostruire il quadrato. Il risultato è un numero molto elevato: 17.152!

Per saperne di più

Immagine da http://www.geocities.com/tangramfan/stomachion.html

La storia del Codice C:
Raviel Netz - William Noel, Il codice perduto di Archimede, Rizzoli, pp. 426.

Franco Minonzio, Lo "Stomachion" di Archimede, Lettera PRISTEM, n. 35, marzo 2000, pp. 41 - 47.

La presentazione del teorema di Pick:
Hugo Steinhaus, Matematica per istantanee, Zanichelli, 1995, pp. 58 - 60.

Martin.Gardner, Mathematical Games. Scientific American. Jan 1978

L’articolo di Piergiorgio Odifreddi: Tre Re Matemagici per un’epifania


La pagina web dello Stomachion, al sito della Drexel University:
http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/intro.html

La biografia di Archimede:
http://turnbull.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Archimedes.html

La presentazione dello Stomachion all’Eric Weisstein's World of Mathematics.
http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html

Un’attraente presentazione interattiva di Alex Bogomolny, nel sito della Mathematical Association of America:
http://www.maa.org/editorial/knot/Pick.html

Ed Pegg jr, La soluzione del Loculus di Archimede:
http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html

Applet java dello Stomachion:
http://www.regulance.com/tangram/

Un’ampia collezione di composizioni dello Stomachion:
http://www.geocities.com/tangramfan/stomachion.html


Una variante dello Stomachion:
http://www.geocities.com/tangramfan/stomachion.html

Altre figure composte con i 14 pezzi dello Stomachion e per acquistare lo Stomachion, venduto come “La scatola di Archimede”:
http://www.gamepuzzles.com/archsqu.htm

The Puzzling World of Polyhedral Dissections di Stewart T. Coffin:
http://www.johnrausch.com/PuzzlingWorld/chap01c.htm