MAGIA IN BASE TRE

di Ennio Peres

 

Come è noto la numerazione in base 3 (o ternaria) è una notazione posizionale che utilizza solo le tre cifre: 0, 1 e 2. Per convertire in base 10 un numero ternario, bisogna tener presente che (scorrendo le cifre del numero, da destra verso sinistra) la prima posizione corrisponde alla potenza 3^0, la seconda alla potenza 3^1, la terza alla potenza 3^2, la quarta alla potenza 3^3, e così via (procedendo con successive potenze di 3).
Ad esempio, il numero ternario 1102, corrisponde a:

2x3^0 + 0x3^1 + 1x3^2 + 1x3^3 = 2x1 + 0x3 + 1x9 + 1x27 = 2 + 0 + 9 + 27 = 38.

La numerazione ternaria è utilizzata in vari giochi di magia matematica; uno dei più sorprendenti, noto come Le pile di Gergonne (dal nome del matematico francese che lo studiò per primo), si esegue con le seguenti modalità.

 

Presentazione

- Mescolate un mazzo di 27 carte e, dopo averlo consegnato a uno spettatore, fornitegli le seguenti istruzioni.
1. Scegli mentalmente una di queste carte e ricorda il suo valore, senza comunicarmelo.
2. Tieni in mano le 27 carte, con le facce rivolte verso il basso e (procedendo da sinistra verso destra), distribuiscile una alla volta, a faccia in alto, su righe di 3 carte, fino a formare 3 colonne di 9 carte (come indicato in figura).
3. Dimmi in quale colonna si trova la carta da te scelta.
4. Raccogli in un mazzetto le 9 carte di ciascuna colonna (senza alterare l’ordine con cui le carte sono state distribuite) e ricomponi il mazzo, disponendo in un ordine a tuo piacere, i 3 mazzetti così ottenuti.
5. Esegui di nuovo la sequenza di istruzioni 2, 3 e 4 e poi salta al punto 6.
6. Esegui per la terza volta la la sequenza di istruzioni 2, 3 e 4 e poi salta al punto 7.
7. Distribuisci le carte sul tavolo, nel modo indicato dall’istruzione 2.

- A questo punto siete in grado di indicare, senza alcuna esitazione, la carta scelta dallo spettatore.

 

Modalità di esecuzione

Per riuscire in tale intento, dovete osservare i seguenti accorgimenti.
- Ogni volta che lo spettatore ricompone il mazzo (istruzione 4), osservate in quale posizione: superiore, centrale o inferiore (considerando il mazzo rivolto a facce in basso), colloca il mazzetto contenente la carta scelta.
- Assegnate a ciascuna posizione una cifra, in base al seguente criterio: superiore = 0; centrale = 1: inferiore = 2 (in pratica, il valore della cifra così assegnata corrisponde al numero di mazzetti che vengono messi sopra quello preso in considerazione).
- Scrivete nell’ordine, da destra verso sinistra, le cifre attribuite alle tre posizioni osservate, in modo da ottenere un numero ternario; il valore di questo numero indicherà quante carte, nell’ultima configurazione ottenuta, si trovano prima della carta da indovinare (contando da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso).
Ad esempio, se la prima volta il mazzetto viene posto nella posizione inferiore (2), la seconda volta nella posizione superiore (0) e la terza volta nella posizione centrale (1), scrivendo le relative cifre, da destra verso sinistra, si ottiene il numero ternario 102. Dato che, in decimale, questo numero corrisponde a:

2x3^0 + 0x3^1 + 1x2^2 = 2x1 + 0x3 + 1x9 = 2 + 9 = 11,

la carta da indovinare è preceduta da altre 11 carte e, quindi, è la 12^a (in particolare, se la configurazione finale fosse quella riportata in figura, la carta da indovinare sarebbe l’ Asso di cuori).

 

Spiegazione del trucco

Per capire il meccanismo su cui si basa questo trucco, bisogna per prima cosa notare che, se il mazzetto contenente la carta da indovinare venisse posto ogni volta nella posizione superiore, al termine delle operazioni la carta da indovinare andrebbe ad occupare la prima posizione in alto a sinistra (ovvero, non sarebbe preceduta da alcuna carta).
Infatti, se si considera che ad ogni passaggio le carte appartenenti alla colonna di una data configurazione, dopo essere state raccolte in un mazzetto, vengono ridistribuite in un gruppetto di 3 righe contigue (composto da 9 carte in tutto), l’affermazione precedente può essere messa in evidenza dal seguente prospetto (dove con la lettera A sono indicate le posizioni in cui, nelle quattro successive configurazioni, può trovarsi la carta da indovinare).

1a
2a
3a
4a
AAA
AAA
AAA
AXX
AAA
AAA
XXX
XXX
AAA
AAA
XXX
XXX
AAA
XXX
XXX
XXX
AAA
XXX
XXX
XXX
AAA
XXX
XXX
XXX
AAA
XXX
XXX
XXX
AAA
XXX
XXX
XXX
AAA
XXX
XXX
XXX

Questo stesso prospetto mostra anche come, dopo ogni operazione di ridistribuzione:
- solo 3 carte appartenenti a un gruppetto di 9, vanno a sistemarsi in una riga occupata da quel gruppetto, al passo precedente;
- solo una carta appartenente a una data riga, va a sistemarsi in una posizione occupata da quella riga, al passo precedente.
Non è difficile verificare che tale assunto è valido anche per gruppetti e per righe, posti in altre posizioni (in questo contesto, però, omettiamo l’analisi dei vari casi possibili, in quanto richiederebbe troppo spazio).
Fatte queste premesse, si può analizzare la situazione generale in cui i mazzetti relativi alle colonne indicate, non vengono posti sistematicamente in cima al mazzo.
In questo caso, alla fine delle operazioni, la carta da indovinare sarà sicuramente preceduta da un certo numero di altre carte, la cui composizione può essere così determinata:
- X gruppetti di 9 carte ciascuno (X = 0, 1, 2), prima di quello contenente la carta da indovinare, se X è il numero dei mazzetti posti sopra quello interessato, nella terza ricomposizione del mazzo;
- Y righe di 3 carte ciascuna (Y = 0, 1, 2), prima della riga contenente la carta da indovinare (all’interno del relativo gruppetto da 9), se Y è il numero dei mazzetti posti sopra quello interessato, nella seconda ricomposizione del mazzo;
- Z carte singole (Z = 0, 1, 2), prima della carta da indovinare (all’interno della relativa riga), se Z è il numero dei mazzetti posti sopra quello interessato, nella prima ricomposizione del mazzo.
In definitiva, il numero totale di queste carte sarà dato da: Zx1 + Yx3 + Xx9, ovvero, coinciderà con il valore del numero ternario: XYZ.

 

Bibliografia

P. De Frank, Le carte magiche, Hoepli, Milano, 1921 (Copia anastatica, Cisalpino-Goliardica, Milano, 1975).
M. Gardner, Enigmi e giochi matematici - Vol. V, Sansoni, Firenze, 1976.
M. Gardner, I misteri della magia matematica, Sansoni, Firenze, 1985.
E. Peres, Magia ternaria, dalla rivista Epsilon (Paravia, Torino), n. 12, novembre 1992.
E. Peres Ventisette carte in fila per tre..., dalla rivista «Res – Cose d’oggi a scuola» (Elemond, Milano)- n. 15, Febbraio 1998.
C. Rossetti, Magia delle carte, Hoepli, Milano, 1958 (Copia anastatica, Cisalpino-Goliardica, Milano, 1984).