Problemi - Febbraio 2002

 

6. Cappelli rossi e gialli

Siamo nell'anno mille. Tre grandi matematici stanno andando a Bagdad, la capitale della matematica. Stanchi per il viaggio, si fermano a riposare sotto un albero. Un ragazzino dispettoso, mentre stanno dormendo, colora i loro cappelli a pallini rossi e gialli. Quando i tre uomini si svegliano vedono i cappelli sulla testa dei loro compagni e scoppiano a ridere. Ma, dopo un po' di tempo, il più intelligente dei tre smette bruscamente di ridere. Perché?

 

7. Math Show

Quattro matematici partecipano al grande "Math Show". Il conduttore propone loro il gioco seguente:
"Dovete mettervi in fila uno dietro l'altro, tre da una parte e uno dall'altra di questa parete verso la quale dovete guardare (fig. 1), senza voltarvi mai indietro. Sarete poi bendati e io metterò sul vostro capo un cappello, rosso o blu. Sappiate che ho a disposizione due cappelli blu e due rossi. Quando vi toglierò le bende voi non saprete quindi il colore del cappello che avete sul capo, ma il primo della fila vedrà i cappelli che ha davanti a sé, del secondo e del terzo, il secondo vedrà soltanto il colore del cappello del terzo, e il quarto, separato dalla parete, non vedrà nessuno dei suoi compagni.

Fig. 1

 

Avete due possibilità: tacere se non siete sicuri del colore del vostro cappello oppure dire di che colore è, ma se uno solo di voi sbaglia colore, oppure se si volta indietro o commette un'altra qualsiasi irregolarità, sarete tutti eliminati. Nel caso in cui almeno uno di voi dica il colore esatto, avrete vinto il SuperPremio di centomila Euro". Il pubblico che assiste allo Show (non i concorrenti) sa che due di loro indossano un cappello blu, il primo e il terzo, e due indossano un cappello rosso, il secondo e il quarto, come indicato in fig. 1. Qual è la strategia vincente?

 

8. Tre cappelli bianchi e due neri

Tre matematici ribelli, che avevano tramato contro la monarchia, vengono catturati e condannati a morte. Ma il re decide di offrire loro una possibilità di salvezza. "So che siete ottimi matematici - dice il re - e quindi logici raffinati. Intendo sottoporvi a una prova e chi di voi la supererà, avrà salva la vita. Vedete questi cappelli, tre bianchi e due neri? Ora metterò sulla testa di ognuno di voi uno di questi cappelli e nasconderò i due rimasti. Voi potete vedere i cappelli in testa ai vostri compagni, ma non vedete quello che voi stessi avete in testa. Naturalmente non potete comunicare fra voi, ma dovrete dirmi soltanto il colore del vostro cappello, spiegandomi i motivi della vostra scelta, in modo che questa non sia soltanto casuale. Chi mi darà una spiegazione convincente avrà salva la vita". Il re mette poi sulla testa dei prigionieri i tre cappelli bianchi e nasconde i due neri.
Il primo matematico guarda i cappelli dei compagni e sconsolato confessa: "Non so rispondere". Anche il secondo matematico ammette di non saper rispondere. Il terzo matematico, dopo un attimo di riflessione risponde: "Il mio cappello è bianco!"
Qual è stato il suo ragionamento?

 

9. Bianco o Nero

Siamo sempre al Math Show. Tre matematici Angelo, Bruno e Carlo hanno in testa un cappello che non possono vedere, ma sanno soltanto che può essere bianco o nero e che i loro cappelli non sono tutti e tre bianchi. Angelo può vedere i cappelli di Bruno e di Carlo, Bruno può vedere i cappelli di Angelo e di Carlo, ma quest'ultimo non vede nulla perché è cieco. Il conduttore chiede poi loro se sanno indovinare il colore del cappello che hanno in testa. Angelo e Bruno confessano di non saper rispondere, mentre Carlo , il matematico cieco, afferma sicuro di conoscere il colore del suo cappello.
Com'è possibile che conosca la risposta?

 

10. Nastri nei cappelli

Al Math Show il gioco si complica. I cappelli dei tre matematici che partecipano al gioco sono tutti dello stesso colore. Ma sui tre cappelli viene messe un nastro. Nessuno di loro conosce il colore del nastro che è sul proprio cappello, ma vede il colore dei nastri sui cappelli degli amici e inoltre sa che i nastri disponibili erano due rossi, due gialli e tre verdi.
Il conduttore dice: "Due di voi mi sanno dire il colore di un nastro che non sia quello che si trova sul proprio cappello e il terzo, dalle risposte dei suoi compagni, è in grado di dedurre il colore del nastro che si trova sul suo cappello? Se quest'ultimo risponderà esattamente avrete vinto il SuperPremio", Il primo e il secondo matematico confessano di non essere in grado di rispondere. Com'è possibile a questo punto che il terzo matematico deduca il colore del nastro che si trova sul suo cappello?

 

11. L'esecuzione matematica

Dopo una retata di matematici ribelli, rei di aver tramato contro il Re, dieci di loro, i capi del complotto, vengono condannati a morte; ma il Re, appassionato di problemi matematici, propone loro una sfida:
"Dopo che vi sarete messi in fila, uno davanti all'altro, dal più alto al più basso, in modo che ognuno di voi possa vedere le persone che ha davanti a sé, farò mettere sul vostro capo un cappello bianco o nero, partendo dal primo della fila, quello più alto. Voi non potete girarvi indietro e non conoscete quindi il colore del cappello che avete in testa, né quello delle persone che sono dietro di voi. Sempre partendo dal primo della fila (quello che ha nove cappelli davanti a sé) dovrete poi dirmi il colore del vostro cappello e io grazierò tutti quelli che avranno indovinato. Dovrete quindi rispondere soltanto "bianco" o "nero". Chi bara o chi si volta indietro verrà immediatamente giustiziato".
I condannati avevano già sentito parlare di questo rituale dei cappelli al quale erano stati sottoposti altri condannati prima di loro, e così prima di presentarsi davanti al Re avevano avuto tutto il tempo per accordarsi, in modo da salvare la vita al maggior numero di persone.
Qual è la strategia migliore?