Ogni mese, ai primi trenta studenti delle superiori che invieranno le soluzioni esatte di tutti i problemi del mese, verrà inviata in omaggio una "splendida" maglietta con il logo del Polymath. Per partecipare all’assegnazione della maglietta lo studente dovrà inviare le soluzioni entro e non oltre il 25 di ogni mese, accompagnandole con i seguenti dati:
    • Nome e cognome
    • Indirizzo di residenza
    • e-mail
    • Indirizzo della scuola e della classe frequentata
    • Maglietta scelta: L oppure XL

    La maglietta non verrà inviata all’indirizzo privato dello studente, ma soltanto all’indirizzo della scuola.

Problemi - Gennaio 2003

 

54. Il triangolo nella circonferenza

Due vertici di un triangolo equilatero giacciono sul diametro di una circonferenza la cui area è 36p cm^2, mentre il terzo vertice giace sulla circonferenza. Qual è l'area massima del triangolo?

 

55. Otto soldi per un problema

Il problema che segue venne proposto da padre Cristoforo Clavio (1537 – 1612), celebre gesuita matematico, al servizio del papa Gregorio XIII che aiutò nella riforma del calendario.

Sul bassorilievo della tomba di Gregorio XIII, padre Clavio presenta al papa il nuovo calendario.

Un padre promette al figlio 8 soldi per ogni problema risolto esattamente, ma gli chiede in cambio 5 soldi per ogni problema sbagliato. Dopo aver risolto 26 problemi fanno i conti e scoprono che il figlio non deve nulla al padre né quest'ultimo a lui. Quanti problemi era riuscito a risolvere il figlio?

 

56. Aree di triangoli

Dato un triangolo ABC qualsiasi, costruiamo il triangolo GHI prendendo i punti D, E ed F tali che
AD = AB/3
BE = BC/3
AF = AC/3

1) Dimostrare che l’area del triangolo GHI è equivalente alla somma delle aree dei tre triangoli ADG, BEH e CFI.
2) Dimostrare che G è il punto medio di AH, H è il punto medio di BI e I è il punto medio di CG.

 

57. Il treno e la mosca

Due treni partono contemporaneamente, uno dalla stazione A e uno dalla stazione B distanti fra loro 100 km. La velocità costante del primo treno è di 60 km/h e quella del secondo è di 40 km/h. I due treni sono destinati a scontrarsi poiché viaggiano sullo stesso binario. Una mosca va dalla locomotiva partita da A verso B a una velocità rettilinea uniforme di 80 km/h. Quando incontra la locomotiva proveniente da B ritorna indietro, sempre con la stessa velocità costante e prosegue così da una locomotiva all'altra finché, nello scontro tra le due locomotive, si compie il suo destino. Per quanto tempo ha volato la mosca, prima di restare schiacciata fra le due locomotive?

 

 

 

 

58. Scambi di cifre

Il valore di un numero intero di tre cifre aumenta di 9 se si scambiano fra loro la seconda e la terza cifra, mentre aumenta di 90 se si scambiano la prima e la seconda cifra.
Di quanto aumenterà il valore del numero se si scambiano la prima e la terza cifra?

 

59. La distribuzione del grano

Il problema che segue venne proposto da Alcuino di York, il monaco inglese, educatore e poeta, che Carlo Magno volle alla sua corte per riorganizzare le scuole dell’Impero:
Cento misure di grano vengono distribuite fra 100 persone in modo che ogni uomo ne riceve 3, ogni donna 2 e ogni bambino mezza. Quanti sono gli uomini, le donne e i bambini?

 

a cura di Federico Peiretti