Ogni mese, ai primi trenta studenti delle superiori che invieranno le soluzioni esatte di tutti i problemi del mese (in questo caso sei: il settimo è un problema storico “fuori concorso”) verrà inviata in omaggio la preziosa T-Shirt Polymath. Per partecipare all’assegnazione della T- Shirt lo studente dovrà inviare le soluzioni entro e non oltre il 25 di ogni mese, accompagnandole con i seguenti dati:
    • Nome e cognome
    • Indirizzo di residenza
    • e-mail
    • Indirizzo della scuola e della classe frequentata
    • Maglietta scelta: L oppure XL

    La maglietta non verrà inviata all’indirizzo privato dello studente, ma soltanto all’indirizzo della scuola.

Problemi - Novembre 2004

 

166. Politici onesti e politici corrotti

Al Congresso del Partito delle Tre Galline sono presenti cento uomini politici, ognuno dei quali è onesto oppure corrotto. Se sappiamo che almeno uno dei politici presenti è onesto e che presi due qualsiasi degli uomini politici, almeno uno è corrotto, possiamo da questi due fatti dedurre quanti sono gli uomini politici onesti e quanti i corrotti?

 

167. Il triangolo e il parallelogramma

Il perimetro del parallelogramma CDEF misura 20 cm. Trova l’area del triangolo equilatero ABC.

 

168. Quanto vale?

Se x + y = 1 e x2 + y2 = 2, quanto vale x3 + y3?

 

169. I quattro numeri

Un problema di Diofanto di Alessandria, il grande algebrista dell’antica Grecia.
Trovare i quattro numeri che moltiplicati fra loro a due a due, danno come risultato sempre dei quadrati, se si aggiunge un'unità al prodotto ottenuto.
Il problema si può risolvere algebricamente oppure, per tentativi con una calcolatrice e, più velocemente, con un programmino al calcolatore.

 

170. Cinque è un numero sferico

Fra le specie numeriche più curiose ci sono i numeri sferici. Sono i numeri che, al quadrato, terminano con le stesse cifre del numero dato.
Il più piccolo numero sferico, a parte 1, è 5, altri sono 6 e 25 perché:

52 = 25
62 = 36
252 = 625

Giacomo Balla, Velocità astratta + rumore, 1913 – 14
The Solomon R. Guggenheim Foundation, New York, Peggy Guggenheim Collection, Venezia

Saprebbe il lettore trovare almeno altri quattro numerici sferici, anche aiutandosi con una calcolatrice?

 

171. Otto fiammiferi in fila

Collochiamo su un tavolo tre file di fiammiferi.
La prima fila composta da 11 fiammiferi, la seconda da 7 e la terza da 6.
Il gioco consiste nel cercare di ottenere tre file identiche di 8 fiammiferi, spostandoli da una fila all'altra con una regola precisa:
ad ogni fila si può aggiungere soltanto un numero di fiammiferi uguale a quelli già contenuti nella fila stessa e tutti i fiammiferi devono essere tolti da un'unica fila.
Ad esempio, se una fila contiene 5 fiammiferi, se ne potranno aggiungere soltanto altri 5, né uno in più né uno in meno.
Il numero minimo di mosse necessarie è tre.

 

172. Salvare la virtù delle fanciulle

Il settimo problema, fuori concorso arriva da Alcuino, il celebre monaco e poeta inglese che dirigeva la prestigiosa scuola cattedrale di York, e che venne chiamato da Carlo Magno, nel 781, a riorganizzare le scuole dell'Impero e in particolare la scuola di Palazzo, la Schola Palatina. Uno dei suoi problemi più famosi è quello che sicuramente molti conosceranno, del contadino che deve traghettare lupo, capra e cavoli, senza perdere il suo prezioso carico, con una barchetta che può trasportare soltanto lui e una delle sue cose per volta.

Alcuino di York, circa 735 - 804

Sempre di Alcuino è un altro divertente problema di traghetti:
"Tre amici, ognuno dei quali è accompagnato da una sorella – scrive Alcuino - arrivano a un fiume dove trovano una parva navicula, che può trasportare al massimo due persone. I tre fratelli sono gelosissimi delle rispettive sorelle e tutti concupiscono le sorelle degli altri. Si tratta quindi di effettuare il passaggio all'altra sponda del fiume senza lasciare mai una fanciulla lontana dal proprio fratello, in modo che non rischi la propria "virtù" o, come dice Alcuino, che per la sua vita virtuosa venne proclamato beato, ne una quidem earum ex ipsis maculata sit".
Per non essere disonorate - Nei secoli che seguirono ritroviamo lo stesso problema in altre versioni (sempre palesemente antifemministe), la più nota delle quali è quella con mogli e mariti gelosi al posto di fratelli e sorelle. Si tratta sempre di attraversare il fiume senza che "havesse a nascere rugine de suspecto - scrive Luca Pacioli, il matematico amico e maestro di Leonardo, in un suo manoscritto dell'inizio del Cinquecento - de lor donne capitando ale mani de l'uno senza el suo marito, non ci sia commo dici la scriptura vinum et mulieres faciunt hominem apostatare". La soluzione è identica naturalmente a quella del problema precedente.
Com’è possibile che tutti attraversino il fiume senza che le tre sorelle perdano il loro onore?

a cura di Federico Peiretti