Problemi - Settembre 2002

 

30. I discepoli di Pitagora
Si racconta che un giorno Policrate, il tiranno di Samo, chiese a Pitagora quanti fossero i suoi discepoli. "La metà - rispose Pitagora - studia le belle scienze matematiche; l'eterna natura è l'oggetto dei lavori di un quarto; un settimo si esercita nel silenzio e nella meditazione; ci sono infine tre donne fra le quali la migliore è Teano [moglie di Pitagora]. Ecco, o Policrate, il numero dei miei discepoli che lo sono anche delle Muse".
Quanti erano i discepoli di Pitagora?

 

31. I sedici punti

Com'è possibile unire i sedici punti di figura 1.53 con sei segmenti senza staccare la penna dal foglio e senza ripassare sui segmenti già tracciati, in modo che i sei segmenti passino su tutti e sedici i punti? Esistono più soluzioni.

32. I triangoli di Alice

Lewis Carrol (1832 - 1898) Il suo vero nome era Charles Lutwige Dodgson.

Lewis Carroll, l'autore di Alice nel Paese delle Meraviglie, scriveva sul suo diario, il 19 dicembre 1898:
Ieri notte sono stato sveglio sino alle 4 di mattina, per questo provocante problema, mandatomi da New York: trovare tre triangoli rettangoli (uguali in area) con lati espressi da numeri razionali. Ne ho trovati due, i cui lati sono 20, 21, 29 e 12, 35, 37; ma non sono riuscito a trovarne tre.

Il problema è stato ripreso da Martin Gardner, il grande esperto in giochi matematici, il quale osserva che esistono infinite soluzioni, anche per un numero di triangoli superiore a tre, ma in questo caso, le superfici hanno valori non inferiori a numeri di sei cifre.
"Nel caso di tre triangoli esiste tuttavia una soluzione - dice Gardner -
in cui l'area è inferiore a 1000 e i tre triangoli hanno lati con numeri interi". Qual è questa soluzione?

 

33. E' logico

Vediamo ancora un problema di Lewis Carroll, ripescato sempre dal suo celebre diario, alla data del 27 maggio 1894:

"In questi ultimi giorni ho lavorato molto ad una serie di curiosi problemi su affermazioni vere o false. Ad esempio, A dice che B mente; B dice che C mente; C dice che A e B mentono".

La domanda è: chi mente e chi dice la verità?

Albrecht Durer, La giovane lepre, 1502

34. Il cane e la lepre

Un problema di Alcuino di York, ripreso dal suo libro di problemi matematici divertenti, ad uso dei giovani studenti, Propositiones ad acuendos Juvenes, riprendendo un testo più antico del Venerabile Beda. E' la Propositione XXVI.
Al limite di un campo lungo 150 piedi si trova un cane e sul lato opposto si trova una lepre. Il cane parte all'inseguimento della lepre quando questa inizia a correre. Mentre il cane in un salto fa 9 piedi la lepre ne fa 7. Dica, chi vuole, quanti piedi e quanti salti fecero il cane inseguendo e la lepre fuggendo, prima di essere raggiunta.
Dicat qui velit - scrive Alcuino - quot pedes quotque saltus canis perseguendo, e lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est, fecerunt.

 

35. Il gioco delle sette monete

Sette monete devono essere collocate ai vertici della stella in modo che ogni moneta venga posta su una linea libera, ossia su una linea ai cui estremi non ci siano altre monete. Ad esempio, possiamo partire con una moneta sul vertice 1 e blocchiamo in tal modo le linee 1 - 4 e 1 - 6, con una moneta sul vertice 2 blocchiamo le linee 2 - 5 e 2 - 7, con la moneta su 3, le linee 3 - 6 e 3 - 8, con la moneta su 4, la linea 4 - 7 e con la moneta su 5, la linea 5 - 8. A questo punto non ci sono più linee libere, e siamo fuori gioco poiché abbiamo collocato soltanto cinque delle sette monete previste. Qual la strategia che si deve seguire per riuscire a collocare tutte e sette le monete?

 

a cura di Federico Peiretti