Soluzioni – Aprile 2009

481. Poliglotti

Sono almeno 45.
Infatti 10 persone potrebbero non parlare spagnolo, 20 italiano e 25 cinese. Quindi potrebbero esserci 10 persone che non parlano nessuna delle tre lingue. Tuttavia in questo modo si arriverebbe alla soluzione massima, mentre il problema chiedeva “al minimo” e quindi dobbiamo pensare che i tre gruppi di persone, 10, 20 e 25 siano composti tutti da persone diverse. Sarebbero così 55 le persone che non conoscono una lingua e le rimanenti 45 le parlerebbero tutte e tre.

 

482. Un classico orologio inglese

 

483. Quanto pesano i sacchi?

I cinque sacchi pesano rispettivamente 5,5; 6,5; 7; 4,5 e 3,5 kg.

 

484. Gatti e topi, due

Se i sei gatti mangiano sei topi in sei minuti, ne mangeranno uno ogni minuto, due in due minuti, …, sei in sei minuti, sette in sette minuti,… e cinquanta in cinquanta minuti. Per mangiarne 100 ce ne vorranno il doppio: 12.

 

485. Un quadrilatero a pezzi

E’ facile dimostrare che in un quadrilatero qualsiasi ABCD, se si uniscono i punti medi di tutti i lati, E, F, G e H (figura a destra) si ottiene un parallelogramma. Nella figura a sinistra sono indicate le aree a, b, c, d ed e dei vari triangoli. Ovviamente essendo EFGH un paralelogramma, i quattro triangoli indicati con e hanno tutti la stessa area. Poiché i punti E ed F tagliano a metà due lati del triangolo ABC, l’area del triangolo EBF è un quarto dell’area del triangolo ABC. Per lo stesso motivo l’area del triangolo HDG è un quarto dell’area del triangolo ACD. Ne ricaviamo che b + d è un quarto dell’area di tutto il quadrilatero. Lo stesso risultato si trova con a + c. E’ quindi b + d = a + c da cui abbiamo:

(b + e) + (d + e) = (a + e) + (c + e)

ma b + e = 12, d + e = 10, and a + e = 11. La regione che ci interessa è c + x, che è 12 + 10 - 11, cioè 11.

 

486. Dolci pasticcini

L’unica combinazione possibile, per soddisfare le condizioni poste dal problema è la seguente:

Mariti Pasticcini Mogli Pasticcini Totale
BRUNO 2x4=8 ANNA 4 12
ALBERTO 3 BRUNA 3 6
DAVIDE 4x2=8 CARLA 2 10
CARLO 3x1 DANIELA 1 4

La moglie di Carlo è Daniela.

 

487. Su e giù per la collina

24 miglia. Alle 6.30

Quello proposto è un Pillow problem di Lewis Carroll, uno dei tanti “problemi del cuscino” che il padre di Alice inventò e che lasciò sparsi su lettere, diari e appunti, senza mai riuscire a raccoglierli tutti in un unico volume.

Un miglio in piano viene percorso in un quarto d’ora, sulla collina in un terzo d’ora, giù dalla collina in un sesto d’ora. Quindi per andare e tornare sullo stesso miglio in piano o in collina avranno impiegato mezz’ora:

1/4 + 1/4 = 1/2             1/3 + 1/6 = 1/2

In sei ore percorsero quindi 12 miglia all’andata e 12 al ritorno.

Se la strada fosse stata tutta in piano avrebbero impiegato 3 ore per percorrere le 12 miglia, mentre se fosse stata soltanto su e giù dalla collina ne avrebbero impiegato 4. Quindi possiamo dire che in 3 ore e mezza raggiunsero la cima della collina ed essendo partiti alle 3, raggiunsero la cima della collina alle 6.30.