SOLUZIONI - Dicembre 2002

 

48. Le diagonali del quadrato

Come si vede dalla figura, tracciando una terza diagonale AC, si completa un triangolo equilatero. L'angolo misura quindi 60°.

 

49. Un quadrato in quattro

Ohps!... chiedo scusa: una parte del problema è rimasta nella penna, o meglio nella tastiera. Come ci hanno fatto notare alcuni studenti, le soluzioni sarebbero ben più di quattro, ma si riducono alle quattro seguenti con le condizioni che era necessario specificare: le parti devono essere intere, composte da quadretti uniti almeno per un lato, avere la stessa forma e le stesse dimensioni. Inoltre si può dividere il quadrato soltanto seguendo le linee della quadrettatura.

 

50. Il terreno in eredità

 

51. Il triangolo equilatero e le due circonferenze

Poiché i lati del triangolo AC e BC sono tangenti alle due circonferenze, sappiamo che O'D e OF sono perpendicolari ad AC. Inoltre i triangoli CDO' e CAO hanno gli angoli di 30°, 60° e 90°. Quindi CO' = 2 DO' e CO = 2 FO. Ma noi sappiamo che DO' = 1 e di conseguenza CO' = 2, CH = 3.
Se indichiamo con r il raggio della circonferenza grande, abbiamo CO = r + 3 e FO = r, ma abbiamo visto che CO = 2FO, cioè r + 3 = 2r, da cui
r = 3 unità.

 

52. La circonferenza e i due quadrati

Nel primo caso, il lato del quadrato grande è il diametro della circonferenza e quindi la sua area è (2r)^2 mentre il quadrato piccolo ha come diagonale il diametro della circonferenza. La sua area è quindi (2r)^2/2.
Il rapporto tra le due aree è quindi 1:2

Nel secondo caso, il quadrato grande ha sempre come area (2r)^2 mentre per il quadrato piccolo si ricava un'area di (2r)^2/5 e il rapporto fra le due aree è 1:5

 

53. Strette di mano

10 persone. Se le persone presenti sono 2, c'è una sola stretta di mano. Con tre persone le strette di mano sono 2 + 1 = 3, con 4 sono 3 + 2 + 1 = 6, con 5 sono 4 + 3 + 2 + 1 = 10. In generale possiamo pensare che in un gruppo di n persone, una prima persona stringe n - 1 mani (ovviamente non la stringe a se stessa), una seconda persona la stringe a tutti meno che a se stessa e a quello che prima gli ha già stretto la mano e quindi gli toccano n - 2 strette di mano, una terza persona la stringe successivamente a n - 3 persone e così via fino ad arrivare all'ultima persona che la stringe soltanto più ad un'altra persona, cioè a n - (n - 1) persone. Possiamo pertanto dire che con 10 persone si avranno 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.
Qual è la regola generale?