SOLUZIONI - Dicembre 2006


313) Quale numero?
2, 3, 6, 15, 42, 123, 366,...
la regola è: a(0) = 2 e a(n) = 3 x a(n-1) - 3, dove a(n) indica il generico termine della successione di posizione n.

 

314) Gli zero dei prodotti
24 zero.
Il prodotto dei primi cento numeri, che indichiamo con 100!, dipende dal numero dei dieci che compaiono nel prodotto e questi dipendono a loro olta dal numero dei due e dei cinque. Poiché il numero dei 2 che compaiono scomponendo in fattori 100! è sicuramente maggiore del numero dei 5, basterà calcolare il numero dei 5. Calcoliamo per questo i multipli di 5 che sono 20: 5 x 1; 5 x 2; 5 x 3; 5 x 4; … Sappiamo quindi che ci sono già 20 zero al termine del prodotto. Ci sono inoltre altri quattro numeri tra i fattori di 100! con due 5 e questi sono:
25 = 5 x 5; 50 = 2 x 5 x 5; 75 = 3 x 5 x 5 e 100 = 2 x 2 x 5 x 5
In totale abbiamo quindi 24 cinque tra i fattori di 100! E possiamo concludere che 100! termina con 24 zero.

 

315) Probabilità “matematica”
3!*2!*2! /10! = 1/151200

 

316) Risolvi la moltiplicazione
21.978 X 4 = 87.912

 

317) I viandanti stanchi e affamati
C’erano 27 mele. Infatti le 8 mele lasciate dal terzo viandante rappresentano i 2/3 delle mele lasciate dal secondo viandante, cioè 12 mele, le quali, a loro volta rappresentano i 2/3 delle mele lasciate dal primo viandante, cioè 18 mele. Queste 18 mele lasciate dal primo viandante rappresentano infine i 2/3 delle mele che c’erano nella sacca all’origine, e queste erano quindi 27.

 

318) Triangoli numerici

 

319) Le pesate

Siano date 12 palline numerate da 1 a 12 e apparentemente identiche. Di queste una ha un peso diverso e non sappiamo se sia maggiore o minore di quello delle altre 11. Si individui la pallina diversa con tre pesate su una bilancia a due piatti, indicando anche se è leggera o pesante.

Lemma 1. Siano date quattro palline apparentemente identiche A B C D di cui una di peso diverso. Quest’ultima si individua con due pesate, se si dispone di due palline regolari E,F.

Dim.:
Si pesa A B contro C E. Se il peso è uguale si pesa A contro D. Se invece A B è leggero, allora A è leggera o B è leggera o C è pesante. In tal caso peso A C contro E F e concludo. Se A B è pesante, allora A è pesante o B è pesante o C è leggera. In tal caso basta pesare A C contro E F.

Lemma 2. Siano date tre palline A,B,C apparentemente identiche di cui una di peso diverso e si sappia che A può solo essere più leggera, mentre B e C possono solo essere più pesanti. Si abbiano inoltre due palline D ed E di peso regolare a disposizione. Allora è sufficiente una pesata per individuare la pallina diversa. Lo stesso vale se A può essere solo pesante e B e C possono solo essere leggere.

Dim.: Peso A e B contro D ed E. Se A B pesa meno, la pallina A è leggera, se A B pesa di più, allora la pallina B è pesante, se il peso è eguale, allora la pallina C è pesante.

Lemma 3. Siano date due palline A e B identiche di cui una di peso diverso e si sappia che A può solo essere leggera e B può solo essere pesante. Si abbia inoltre a disposizione una pallina regolare C. Allora è sufficiente una pesata per individuare la pallina diversa.

Dim.: basta pesare A contro C.


Soluzione del problema.
Passo 1. Peso le palline 1 2 3 4 contro le palline 5 6 7 8. Se il peso è eguale, restano da trattare le quattro palline 9 10 11 12 con due pesate (lemma 1).
Passo 2. Supponiamo che 1 2 3 4 pesi meno di 5 6 7 8. Allora peso 5 10 7 4 contro 11 9 3 8. Vengono lasciate da parte le palline 1 2 6, delle quali sappiamo che 1 e 2 possono solo essere leggere, mentre 6 può solo essere pesante.
Passo 3. Se la pesata 5 10 7 4 contro 11 9 3 8 dà peso eguale, cado nel lemma 2.
Passo 4. Se la pesata dà 5 10 7 4 più leggero di 11 9 3 8, allora o 4 è leggera o 8 è pesante e quindi cadiamo nel lemma 3.
Passo 5. Se la pesata dà 5 10 7 4 più pesante di 11 9 3 8, allora o 5 o 7 sono pesanti, oppure 3 è leggera. Quindi cadiamo nel lemma 2.