SOLUZIONI - Febbraio 2002

 

6. Cappelli rossi e gialli

Il più intelligente dei tre smette di ridere perché capisce di avere anche lui il cappello a pallini. Il ragionamento che può aver fatto è il seguente.
Nell'ipotesi più semplice, se soltanto uno avesse il cappello colorato sarebbero solo in due a ridere, quindi almeno due sono sporchi.
Nell'ipotesi in cui fossero in due ad avere i cappelli colorati, riderebbero tutti, ma chi ha sul capo il cappello colorato ne vedrebbe solo un altro colorato e dopo un po', per la prima ipotesi, capirebbe di essere sporco e quindi smetterebbe di ridere.
Ma poiché nessuno smette di ridere, tutti hanno i cappelli colorati e ognuno vede quelli degli altri.
Il più intelligente dei tre è il matematico che per primo è giunto a questa conclusione, ed ha capito che deve mettersi nei panni degli altri, cioè di chiedersi quello che stanno pensando gli altri (si tenga presente quest'ultima osservazione per la soluzione dei problemi che seguono).

 

7. Math Show

Il primo matematico vede davanti a sé un cappello rosso e uno blu e non può sapere di che colore è il suo cappello, quindi tace. Se avesse visto due cappelli blu, sarebbe invece stato sicuro che il suo era rosso. Se non ha detto nulla, il secondo (dopo essersi messo nei panni del primo, secondo l'osservazione del primo problema) deduce che ha visto un cappello rosso e uno blu. A sua volta, il secondo vede davanti a sé un cappello blu e quindi dice "rosso" e fa vincere la sua squadra.

 

8. Tre cappelli bianchi e due neri

Il terzo matematico si mette nei panni degli altri due matematici e osserva:
"Ammettiamo che il mio cappello sia nero. In questo caso, che cosa potrebbero rispondere i miei due compagni?
Il primo matematico non avrebbe potuto rispondere, perché avrebbe visto un cappello bianco e uno nero (il mio).
A sua volta il secondo matematico avrebbe visto il mio cappello nero e quello bianco del primo matematico. Anche lui avrebbe potuto fare il mio stesso ragionamento: se il suo cappello era nero, il primo matematico avrebbe visto due cappelli neri e avrebbe affermato con sicurezza che il suo cappello era bianco. Se invece ha detto di non conoscere la risposta, il secondo matematico avrebbe potuto affermare con sicurezza che il colore del suo cappello non era nero, ma bianco. Se invece ha detto di non conoscere la risposta, sono sicuro che il colore del mio cappello è bianco ".
Questo è un bell'esempio di dimostrazione "per assurdo", un tipo di ragionamento matematico che stabilisce la verità di una proposizione A, facendo l'ipotesi che sia vera A', l'ipotesi contraria di A. Con una serie di dimostrazioni si arriva a contraddire A', dimostrandone l'assurdità. In conclusione , per il principio del "terzo escluso", certo applicabile in questo caso, se A' è assurdo allora A è valido.

 

9. Bianco o nero

Angelo deve aver visto almeno un cappello nero, altrimenti avrebbe potuto affermare che il suo cappello era nero, poiché non potevano essere tutti bianchi. Anche Bruno ha visto almeno un cappello nero, e questo dev'essere sul capo di Carlo, altrimenti avrebbe potuto affermare che il suo cappello era nero (poiché anche Bruno può dedurre che Angelo ha visto almeno un cappello nero). In conclusione Carlo sa che il suo cappello è nero, senza aver bisogno di vedere il colore degli altri due cappelli.

 

10. Nastri nei cappelli

Nell'ipotesi in cui il nastro del terzo matematico fosse rosso, il primo non avrebbe visto un nastro rosso sul cappello del secondo, altrimenti sarebbe stato sicuro che il suo nastro non poteva essere rosso.
Quindi anche il secondo matematico sa che il suo nastro non è rosso e l'ipotesi del nastro rosso per il terzo matematico è falsa.
Allo stesso modo si dimostra che il nastro del terzo matematico non può essere giallo e si può quindi concludere che il suo nastro è verde.

 

11. L'esecuzione matematica

I condannati possono dire soltanto "bianco" o "nero". Hanno quindi a disposizione una scelta binaria. Si tratta di vedere quale significato dare a "bianco" e "nero", quale scelta binaria è possibile far corrispondere a queste due parole.
Il primo condannato conta il numero dei cappelli bianchi che ha davanti a sé e questi potranno essere soltanto pari o dispari. Se sono in numero pari, dirà "bianco" altrimenti, se sono in numero dispari, dirà "nero". Il secondo condannato controlla la parità dei cappelli bianchi che ha di fronte e se questa non cambia dovrà dire "nero", contando sempre un numero pari di cappelli bianchi, il terzo dirà ancora "nero" se la parità non cambia, cioè se ha davanti sempre un numero pari di cappelli bianchi, altrimenti dirà "bianco". Il quarto procederà tenendo presente i cambiamenti di parità intervenuti prima di lui e così via. In questo modo si salveranno sicuramente tutti, tranne il primo della fila, che avrà in ogni caso un 50% di probabilità di salvezza.

Facciamo un esempio:

In questo caso, il primo della fila (a sinistra) conta 4 cappelli bianchi e, come concordato, dice "bianco" per avvertire i compagni che ha davanti a sé un numero pari di cappelli bianchi. Il secondo ne conta sempre 4 e dice "nero" perché la parità non è cambiata e c'è sempre lo stesso numero di cappelli bianchi di fronte a lui, il terzo continua a dire "nero" perché ne vede sempre un numero pari, il quarto ne conta soltanto più 3, cambia quindi la parità e dice "bianco" che corrisponde a questo punto a "dispari", il quinto ne conta 2, cambia ancora la parità e dice "bianco" che corrisponde ora a un numero pari di cappelli bianchi, il sesto ne vede sempre un numero pari e quindi dice "nero", ecc.