SOLUZIONI - Gennaio 2003

 

54. Il triangolo nella circonferenza

L’area massima è quella del triangolo equilatero,

 

55. Otto soldi per un problema

Su 26 problemi il figlio era riuscito a risolverne 10. Infatti per 10 problemi doveva ricevere dal padre 10 x 8 = 80 soldi, ma avendone sbagliati 16, doveva a sua volta al padre 16 x 5 = 80 soldi.

Possiamo impostare l’equazione:
8x - 5(26 - x) = 0
Dove x indica il numero ei problemi risolti.

 

56. Aree di triangoli

Dato un triangolo ABC qualsiasi, costruiamo il triangolo GHI prendendo i punti D, E ed F tali che
AD = AB/3
BE = BC/3
AF = AC/3

1) Dimostrare che l’area del triangolo GHI è equivalente alla somma delle aree dei tre triangoli ADG, BEH e CFI.
2) Dimostrare che G è il punto medio di AH, H è il punto medio di BI e I è il punto medio di CG.

RISPOSTA

1) Se AD è 1/3 di AB, l’area del triangolo ADC è un terzo dell’area del triangolo ABC. Per lo stesso motivo l’area del triangolo ABE è un terzo dell’area del triangolo ABC e l’area del triangolo BCF è un terzo dell’area del triangolo ABC.
Di conseguenza:

Abbiamo inoltre:

E quindi:

D’altra parte:

Se uguagliamo le due espressioni trovate, abbiamo

Da cui ricaviamo:

2) Indichiamo l’omotetia di centro P e rapporto k con H(P,k).

Per ipotesi, sappiamo che il punto D è il corrispondente di B in H(A,1/3) e il punto B di C in H(E,-1/2).
Se componiamo le due omotetie, abbiamo un’omotetia di rapporto -1/6, con il centro allineato con A ed E e contemporaneamente con C e D. E’ quindi il punto G.

Abbiamo cioè il punti D è il corrispondente di C nell’omotetia H(G,-1/6).

In modo analogo, possiamo dire che il punto D è il corrispondente di A in H(B,2/3) e il punto A di C in H(F,-2).

Abbiamo cioè i punti D e C corrispondenti in H(I,-4/3).

Dalle due omotetie H(G,-1/6) e H(I,-4/3), applicate ai punti D e C si ricava quindi che I è il punto medio di CG. Allo stesso modo si dimostra che G è il punto medio di AH e H è il punto medio di BI.

 

 

57. La mosca e il treno

Un'ora. Il problema diventa molto semplice se si evita di pensare alla mosca e si risponde soltanto alla domanda seguente: dopo quanto tempo i due treni si scontrano?

 

 

58. Scambi di cifre

Il valore aumenta di 198 unità.
Sia xyz il numero di tre cifre, cioè 100x + 10 y + z.
Abbiamo quindi (100x + 10z + y) - (100x + 10 y + z) = 9
Da cui ricaviamo 9(z – y) = 9
z – y = 1
Inoltre abbiamo (100y + 10x + z) - (100x + 10 y + z) = 9
Da cui ricaviamo 90(y – x) = 90
y – x = 1
Infine, la condizione richiesta è
(100z + 10y + x) - (100x + 10 y + z) = 99(z – x)
Ma (z – x) = (z – y) + (y – x) = 1 + 1 = 2
Abbiamo quindi 99(z – x) = 2 * 99 = 198.

 

 

59. La distribuzione del grano

La soluzione proposta da Alcuino è: 11 uomini, 15 donne e 74 bambini. In realtà ci sono cinque altre soluzioni.
La soluzione generale del problema è (20 - 3n) uomini, 5n donne e (80 - 2n) bambini, con n intero positivo e inferiore a 7.