SOLUZIONI - Giugno 2006

 

285) Piramidi a colori

E’ sbagliata la seconda figura.
Infatti la seconda e la quarta figura hanno entrambi la base verde, quindi la prima e la terza sono corrette. Se nella terza figura prendiamo come base il verde, i colori corretti risultano rosso, blu e giallo, cioè la quarta figura risulta corretta, mentre la seconda è sbagliata.  Un semplice modello della figura chiarirà la risposta.

 

286) Per gli Euro e per un cavallo

Il salario per 5 mesi è 7100 – 3475 = 3625 Euro

e questo corrisponde a un salario mensile 3625/5 = 725 Euro.

Senza il cavallo, il salario mensile sarebbe quindi 725 x 12 = 8700 Euro

La differenza è quindi il valore del cavallo: 8700 – 7100 = 1600.

 

287) Tre punti non allineati

 

Costruito il triangolo PQR, si traccino le parallele ai lati di questo triangolo passanti per P, Q e R. Si ottiene il triangolo ABC che è quello richiesto, con P, Q e R punti di mezzo dei lati del triangolo.

 

288) La somma dei coseni

Noi sappiamo che    1)         cosx = sin (90 – x)

                                   2)         sin2x + cos2x = 1

                                   3)         cos245 = ½

                                   4)         cos290 = 0

 

Se scriviamo

cos21° + cos22° + cos23° + cos245° +…+…+ cos288° +  cos289° + cos290° =

(cos21° + cos289°) +  (cos22° + cos288°) +  (cos23° + cos287°) + … + (cos244° + cos246°) + cos245° + cos290°

otteniamo dalla 1)

(cos21° + sin21°) +  (cos22° + sin22°) + (cos23° + sin23°) + … +

(cos244° + sin244°) + cos245° + cos290°

e per la 2) abbiamo

1 + 1 + 1 + … + 1 + cos245° + cos290°

infine per la 3) e la 4)

44 + 1/2 + 0 = 44 + 1/2

 

289) Un’espressione complicata

2

 

290) I sei quadrati

294:6 = 49 cm2è l’area di un quadrato e 7 cm la misura del suo lato. Il perimetro è quindi 7 x 14 = 98 cm.

 

291) Indagine su un origami

La prima cosa che da tenere presente quando si risolve questo problema è il rapporto dei lati del foglio A4, che è 1 a √2, come si può osservare misurando i suoi lati). Il nostro lavoro diventa più semplice se  pensiamo al foglio A4 come un rettangolo di lati 1 e √2, e manteniamo nei nostri calcoli la radice di 2, piuttosto che riportarne il valore dato dalla nostra calcolatrice. Procediamo calcolando lati e angoli che otteniamo dalla successione delle piegature. Nella prima parte del problema gli angoli sono sempre 45°. 90° o 135°, ma nella seconda parte non sono così ovvi. Partiamo comunque dalla soluzione della prima parte del problema e, in questo modo, avremo poi un’indicazione della strada per la soluzione della seconda parte.

Questa è la forma ottenuta con la prima piega:

Helpful diagram 1

E questa quella che otteniamo con la seconda piegatura:

Helpful diagram 2

Come abbiamo ottenuto i valori x1 e x2?

x1 = 1 - (√2- 1) = 2 - √2. (Si deve sottrarre s dal lato più corto del rettangolo originale)

x2 = √2 (√2 - 1) = 2 - √2. (Si applica il teorema di Pitagora al piccolo triangolo rettangolo)

A questo punto osserviamo che abbiamo una coppia di lati adiacenti uguali, cioè un aquilone.

Qual è la sua area?

 

Dalla figura si ricava immediatamente che il perimetro è 4. Il modo più semplice per calcolare l’area è la divisione dell’aquilone in due triangoli rettangoli

Helpful diagram 3

 

 

 

 

Area = √2 (2 - √2) = 2√2 - 2

Riportiamo inoltre gli schemi originali delle soluzioni dei due problemi.

Figure 1

Part I We begin with a rectangle ABCD, where AB is 1 unit and BC is √2 units (this is the ratio of the sides of A4 paper). The first fold is along BE (see Figure 1), so that AA ' on BC. Then BA ' =1 and A ' C = √2-1.

The second fold is along EF so that DD ' on A ' E. Then

D ' E=D ' F = A ' C=√2-1,

and by Pythagoras' Theorem,

EF = 2-√2.

Also,

CF = A ' D ' = 1-D ' E=1-(√2-1)=2-√2.

Hence EF=CF, and BE=BC, so that BCFE is a kite. The perimeter is 2√2+2(2-√2)=4.

The area of the kite is

area(ABCD) - area(AEB) - area(EDF) = 2(√2 -1).

"

Figure 2

Part II

Taking another sheet of paper (see Figure 2), the first fold is along DE so that AA ' on DC. The second fold is along A ' B, where CC ' . The third fold is perpendicular to A ' B (through the midpoint R of the diagonal) and takes BA ' , folding the diagonal A ' B in half. We shall show that the shape obtained, that is DPRA ' , is a kite by showing that DP=DA ' and RP=RA ' .

Step 1

When we make the second fold it appears that ∠EBC ' = 45°, and ∠A ' BC ' = 22 ½°. We shall prove this below, but you may assume it if you wish and go on now to Step 2. "

Figure 3
Let ∠A ' BC = ∠A ' BC ' = ; we shall show that = 22 ½° (see Figure 3) by showing that tan2 = 1 (so that 2=45°); see Figure 3. Now

tan =

A ' C


BC

= √2-1,

and

tan2 =

2tan


1- (tan)2

=

2(√2-1)


1-(√2-1)2

= 1.

A further challenge Can you prove that the fold PR must go through the point A?

Step 2 We leave you to show that the following angles are as given (this needs simple geometry but no trigonometry):

A ' BC '

=

22

1


2

°

 

 

EBQ

=

45°

REB

=

67

1


2

°

 

 

QEC

=

22

1


2

°

 

 

AED

=

45°

PEQ

=

45°

ERB

=

45°

QRE

=

45°

This shows that the diagonal RE of the quadilateral RBEP bisects the angles at E and R, so that RBEP is a kite. As this is a kite, we have RP=RB, and as R is the midpoint of A ' B, we have

RA ' = RP.

Also, EP=EB=√2-1, so that

DP=DE-PE = √2-(√2-1) = 1 = DA ' .

Finally, this gives us yet another kite DPRA ' because, as we have just shown, DP=DA ' and RA ' =RP.

The perimeter of the kite DPRA ' is

2DA ' +2A ' R = 2+A ' B = 2+



 


1+ (√2-1)2
 

= 2+



 


4-2√2
 

.

The area of the kite DPRA ' can be found (with quite a lot of computation) to be 1/2 as we have plenty of information about all lengths and angles in Figure 3, but there is another way to do this.

We notice that the area of the kite DPRA ' is

area(DPQA ' ) + area(QRA ' )

=

area(DEA ' )-area(PEQ) + area(QRA ' )

=

area(DEA ' )-area(PEQ) + 1/2 area(A ' QS).

Now notice that the triangles PEQ and A ' QS are similar, with linear scale factor

 

√2-1


2-√2

=

1


√2

 

(where A ' QS is the larger).

area(PEQ) = 1/2 area(A 'QS)

so that

area(DPQA ' ) = area(DEA ' ) = 1/2 .

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