SOLUZIONI - Marzo 2002

 

12. Quattro 5 per 55

(5 + 5) x 5 + 5 = 55

 

13. Quante castagne per ogni bambina

Dal modo in cui le castagne vengono divise, si deduce che le età delle bambine sono in proporzione 9 : 12 : 14. Perciò le 770 castagne sono state suddivise in questo modo: alla bambina più piccola ne toccarono 198, alla seconda 264, e alla più grande 308. Quanto alle età delle bambine, non è possibile determinarle con precisione: tutto quello che sappiamo è che sono in proporzione 9 : 12 : 14. Trattandosi di bambine le età potrebbero essere 4 e mezzo, 6 e 7 anni.

 

14. Successione

La successione si costruisce " leggendo " le cifre del numero precedente, partendo dal 2. Abbiamo quindi 2 e successivamente leggiamo un "2" che scriviamo 12. Poi leggiamo un "1" e un "2" che scriviamo 1112 e continuiamo leggendo tre "1" e un "2", che scriviamo 3112. Il numero che segue è quindi 132112 e il successivo 1113122112.
Dimostriamo per assurdo che non possiamo avere altre cifre nei numeri, oltre 1, 2 e 3. Supponiamo, ad esempio, di trovare la cifra 4 seguita dalla cifra 1. Questo significa che il numero precedente era 1111 e quindi che il numero ancora precedente era 11, ma questo so leggeva 21 e non 1111. Esaminando tutti i casi possibili si deduce che non è possibile avere la cifra 4 o altre cifre maggiori.

 

15. Duello a tre

Neri può sparare il primo colpo a Rossi. Se lo colpisce, lo sparo successivo aspetta a Bianchi il quale, non sbagliando mai, uccide sicuramente Neri. Un'opzione migliore per Neri sarebbe quella di sparare a Bianchi. Se lo colpisse, lo sparo successivo spetterebbe a Rossi, il quale colpirebbe il bersaglio soltanto due volte su tre e quindi Neri avrebbe una probabilità di sopravvivere. A questo punto Neri sparerebbe a Rossi e avrebbe la possibilità di vincere il duello.
Sembrerebbe dunque logico per Neri adottare la seconda strategia. Ma esiste una terza scelta migliore delle altre. Se Neri spara per aria, spetta il secondo colpo a Rossi, il quale certamente spara a Bianchi, dato che è il suo avversario più pericoloso. A sua volta, Bianchi, se sopravvive, sparerà a Rossi, che è il suo avversario più pericoloso. Sparando in aria, Neri, offre la possibilità a Rossi di eliminare Bianchi o viceversa.
Questa è la miglior strategia che Neri possa adottare. Infatti alla fine morirà Bianchi oppure Rossi e Neri potrà sparare all'unico avversario rimasto. In questo modo, Neri invece di avere il primo colpo in un duello a tre, ha il primo colpo in un normale duello a due, con una probabilità superiore di riuscire a sopravvivere.

 

16. L'età dei figli

Vediamo dapprima tutte le terne i cui numeri hanno come prodotto 36, segnando a fianco la loro somma:
36-1-1 (38)
18-2-1 (21)
12-3-1 (16)
9-4-1 (14)
9-2-2 (13)
6-6-1 (13)

6-3-2 (11)
4-3-3 (10).

L'amico conosce la somma dei tre numeri, poiché vede il numero civico della casa di fronte, ma non può rispondere. Questo significa che tale numero è il 13, l'unico numero che appaia due volte.

La precisazione del primo matematico ci fa però scoprire che ha una figlia maggiore e questo ci porta a escludere l'ipotesi 6-6-1, perché non potrebbe avere un solo figlio maggiore. Perciò la risposta esatta è 9-2-2.

 

17. Numeri e multipli

Si consideri, per ogni x fra gli 864 numeri, la sua classe di resto modulo 653. Quindi gli 864 numeri vengono suddivisi su 653 classi e ovviamente in più di una ci sono almeno due numeri. Quindi …

Se considero le classi di resto modulo 864 e ripartisco 653 numero, si ha invece ....

Se n < m, m numeri si ripartiscono in n classi in modo tale che in
più di una ... Se n > m invece ...
E se n = m?

Nella soluzione di questo problema si tenga presente il Principio delle buche dei piccioni: se 11 piccioni si ripartiscono su 10 buche ci sarà una buca con due piccioni.