SOLUZIONI - Marzo 2006

 

264. Questa è algebra

5/2. Infatti

x3 + y3 = (x +y) (x2– xy + y2) =
( 1) (x2 + y2– xy ) =
2 – xy

ma

(x + y)2– 2xy = x2 + y2
1 – 2xy = 2
- 2xy = 1
xy = -1/2

quindi

x3 + y3 = 2 – xy = 2 + 1/2 = 5/2

 

265. Il lancio dei dadi

Se viene lanciato un solo dado, la probabilità che non venga un 1 è
5/6 = 0,8333.
Se i dadi lanciati sono due, la probabilità che non venga un 1 è
5/6 x 5/6 = 0,6944
Se sono tre, la probabilità che non venga un 1 è
5/6 x 5/6 x 5/6 = 0,5787
Se sono quattro, la probabilità che non venga un 1 è
5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 = 0,4823
Sono quindi 4 i dadi che dobbiamo lanciare per avere una probabilità superiore al 50% che esca un “1”.

266. Dalla farina al pane

56 kg

 

267. Quadrato e triangolo equilatero a confronto

4√3/9
Infatti, se indichiamo con a il lato del quadrato e con b il lato del triangolo equilatero, essendo uguali i due perimetri abbiamo 4a = 3b.
Quindi a = 3/4 b
L’area del triangolo è b2 √3/4 e
l’area del quadrato è a2 = 9b2/16
Il rapporto risulta quindi 4√3/9

 

268. Fratello e sorella

Tre ragazze

 

269. Successione numero quattro

18. Infatti:

77=> 7 x 7 = 49 => 4 x 9 = 36 => 3 x 6 = 18

 

270. I dollari di Alice

Gli amici in circolo erano sette e il più povero aveva due dollari.
Infatti, indichiamo con m il numero delle persone in circolo e con k il numero dei dollari dell’ultima persona del circolo, la più povera.
Dopo un giro, tutti hanno un dollaro in meno e il mucchio di dollari in movimento è stato uguale a m. In tal modo, dopo k giri, ognuno ha k dollari in meno e a questo punto il più povero non ha più nulla, mentre il mucchio di dollari in movimento è uguale a mk. Quindi il gioco finisce quando l’ultima persona deve ancora giocare e il mucchio di dollari in gioco è (mk + m – 1), la penultima persona non ha più nulla e la prima persona ha (m – 2) dollari.
Risulta così evidente che la prima e l’ultima persona sono gli unici due vicini per i quali il rapporto dei dollari in loro possesso è “4 a 1”.
Si ha quindi

mk + m – 1 = 4(m – 2)

oppure

4( mk + m – 1) = m – 2

dalla prima equazione ricaviamo

mk = 3m – 7
k = 3 – 7/m


dalla quale ricaviamo

m = 7 e k = 2

dalla seconda equazione

4mk = 2 – 3m

non abbiamo evidentemente valori interi.
La risposta è quindi: 7 amici e 2 dollari.