SOLUZIONI - Novembre 2004

 

166. Politici onesti e politici corrotti

Uno soltanto dei politi è onesto, mentre gli altri 99 sono disonesti. Infatti, sappiamo che esiste una persona onesta, ma possiamo pensare di abbinarla a una qualsiasi dei restanti 99 uomini politici e per ogni coppia uno almeno è corrotto. E questo significa che non ci sono due persone oneste.

 

167. Il triangolo e il parallelogramma

I triangoli ADE ed EBF sono equilateri poiché CDEF è un parallelogramma e quindi è facile dimostrare che tutti gli angoli dei due triangoli sono di 60°. Il perimetro del parallelogramma è di conseguenza il doppio del lato del triangolo ABC. L’area di ABC risulta perciò uguale a 5(3)^1/2.

 

168. Quanto vale?

Noi sappiamo che x3 + y3 = (x + y) (x2– xy + y2)

Ma è x + y = 1 e x2 + y2 = 2. Abbiamo quindi x3 + y3 = (2 – xy)
Inoltre poiché (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy, è 1 = 2 + 2xy
da cui 2xy = 1 – 2 = -1
xy = -1/2
Infine x3 + y3 = (2 – xy) = 2 + 1/2 = 5/2.

 

169. I quattro numeri

I quattro numeri sono 1, 8, 15 e 528. Abbiamo infatti:
1 x 8 + 1 = 32 1 x 15 + 1 = 42 1 x 528 + 1 = 232
8 x 15 + 1 = 112 8 x 528 + 1 = 652 15 x 528 + 1 = 892

 

170. Cinque è un numero sferico

Altri numeri sferici sono 76, 376, 625 e 9376.

 

171. Otto fiammiferi in fila

Le tre mosse che risolvono il gioco dei fiammiferi sono le seguenti:
Situazione di partenza

Prima mossa: sposto 7 fiammiferi dalla prima alla seconda fila.

Seconda mossa: sposto 6 fiammiferi dalla seconda alla terza fila

Terza mossa: sposto 4 fiammiferi dalla terza alla prima fila.

 

172. Salvare la virtù delle fanciulle

Se indichiamo con A, B e C i tre amici, con a, b e c le tre sorelle e separiamo con un trattino le persone che si trovano sulle due sponde del fiume dopo ogni viaggio, la soluzione è la seguente: ABCabc - 0; ABab - Cc; ABCab - c; ABC - abc; ABCa - bc; Aa - BCbc; ABab - Cc; ab - ABCc; abc - ABC; a - ABCbc; Aa - BCbc; 0 - ABCabc.